凸优化理论（五）-勒让德变换

勒让德变换

• 一种数学技巧，变量\(x \ \rightarrow\) 变量 \(p\)，把 \(f(x)\) 转换到 \(f(p)\) 且不会丢失信息
• \(p=\frac{\partial f}{\partial x}\)
• \(f(p)=px-f(x)\)
• 存在条件：f(x)是凸函数（函数上任取两点，连线，函数永远在连线的同一侧）
• 勒让德变换不改变凸性，变换后 \(f(p)\) 仍然是凸函数，固再做一次勒让德可以回到原 \(f(x)\)
• \(x=\frac{\partial f}{\partial p}\)
• \(f(x)=xp-f(p)\)
• 正变换与反变换完全对偶