凸优化理论（三）

证明：Simplex是Polyhedron的一种

• 等价于：任意一种Simplex都可以用Polyhedron的定义形式表达出来
• 矩阵正定 \(\bm{A} \succ 0\)

对称矩阵、对称半正定矩阵、对称正定矩阵，是不是凸集？

• 对称矩阵集合：\(S^n=\{ X \in R^{n\times n}\ |\ X^T=X\ \}\)
• 对称半正定矩阵集合：\(S^n=\{ X \in R^{n\times n}\ |\ X^T=X，\ \ X \succeq 0 \}\)
• 对称正定矩阵集合：\(S^n=\{ X \in R^{n\times n}\ |\ X^T=X，\ \ X \succ 0 \}\)

证明1：\(S_{+}^n\) 是 Convex Cone 凸锥

• 凸锥是一种特殊的凸集，同时满足凸性和锥性
• 凸性：任意多个点，系数非负且和为 \(1\)，即 \(\bm{\theta}>0，1^T\theta=1\)
• 锥性：任意一个点，系数非负，即必然过原点 \(O\)

保持凸集的变换

• 常见的凸集：球、椭球、多面体、单纯形
• 通过一系列不改变凸性的变换，将实际问题中的复杂凸优化问题与上述简单凸集联系起来
• 不改变凸性的变换：交集、仿射函数

交集

• 两个凸集交集仍然是凸集
• \(N\) 个凸集的交集仍然是凸的

仿射函数

• 凸集映射为凸集
• 函数 \(f:R^n \rightarrow R^m\) 是仿射的，当 \(f(X)=AX+b，\ \ A \in R^{m \times n}，\ \ X \in R^n，\ \ b \in R^m\)
• 缩放、移位是仿射映射，会保持凸性
• 两个凸集的和是凸的
• 两个凸集的组合（扩展维度）是凸的

线性矩阵不等式 LMI

• 线性矩阵不等式（LMI）的可行集是凸集
• 定义函数 \(A(X)=x_1A_1+x_2A_2+...x_nA_n\) ，其中 \(B, X_i, A_i \in S^m\)
• 可证明：\(\{X | A(X) \preceq B\}\) 为凸
  -- 定义仿射函数 \(f(X)=B-A(X)\)，则 \(f(x) \in S_+^m\)
  -- 由于 \(S_+^m\) 是凸锥，必然为凸
  -- 则 \(f^-1(S_+^m)=\{ X | B-A(X) \succeq 0 \}\) 必然为凸 （仿射变换不改变凸性）

椭球是球的仿射映射