凸优化理论（三）

证明：Simplex是Polyhedron的一种

• 等价于：任意一种Simplex都可以用Polyhedron的定义形式表达出来
• 矩阵正定 \(\bm{A} \succ 0\)

对称矩阵、对称半正定矩阵、对称正定矩阵，是不是凸集？

• 定义

证明1：\(S_{+}^n\) 是 Convex Cone 凸锥

• 凸锥是一种特殊的凸集，同时满足凸性和锥性
• 凸性：任意多个点，系数非负且和为 \(1\)，即 \(\bm{\theta}>0，1^T\theta=1\)
• 锥性：任意一个点，系数非负，即必然过原点 \(O\)

保持凸集的变换

• 常见的凸集：球、椭球、多面体、单纯形
• 通过一系列不改变凸性的变换，将实际问题中的复杂凸优化问题与上述简单凸集联系起来
• 不改变凸性的变换：交集、仿射函数

交集

• 两个凸集交集仍然是凸集
• \(N\) 个凸集的交集仍然是凸的

仿射函数

• 凸集映射为凸集
• \(n\) 维映射成 \(m\) 维
• 缩放、移位是仿射映射，会保持凸性
• 两个凸集的和是凸的

线性矩阵不等式 LMI