凸优化理论（二）

几种重要的凸集

• 球、椭球、多面体、单纯形

空间

• 必须有一个原点\(O\)
• 其子空间的原点与空间的原点必然是同一个

超平面与半空间

超平面

• 一个原空间降维的等式
• 2维空间的超平面是一条直线，不是平面，固称为超平面
• \(\{ X | a^TX = b\};\ \ \ \ a,X \in R^n, b \in R;\ \ \ \ a \neq 0\)

半空间

• 超平面将原空间划分为两块
• 由不等式 \(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n<b\) 定义
• 由不等式 \(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n>b\) 定义

球

• 凸集
• \(\{X \in R^n , ||X-X_0||<r \}\)

三角不等式（广义的）

• \(||a||+||b||<||a+b||\)
• \(||.||\) 表示任意范数

椭球

• 凸集
• \(\{X \in R^n , P \in S_{++}^n, （X-X_0）^TP^{-1}（X-X_0）< 1 \}\)
• 矩阵 \(P \in S_{++}^n\) (n维对称正定矩阵)
• 正定：矩阵 \(P\) 的奇异值都 \(>0\)
• 奇异值：矩阵 \(P^TP\) 的特征值，再开根号

多面体

• 一个集合 P ，超平面与半空间的交集
• 由 m 个不等式和 n 个等式约束
• \(P=\{ X | a_j^TX < b_j, j=1,2,...,m; c_j^T = d_j, j=1,2,...,n\}\)

单纯形

• 一种特殊的多面体
• n 维空间中的 n+1 个点 \(x_0,x_1,x_2,...,x_n\)
• 使其构成的 n 个向量 \(x_1-x_0,x_2-x_0,...,x_n-x_0\) 线性无关
• 对这 n 个点取其凸包，得到单纯形
• 凸包
  -- 是若干点的最小凸集
  -- 由这若干点的凸组合构成的集合
• 单纯形
  -- \(R^n\) 空间中选择 \(x_0,x_1,...,x_k\) 共 \(k+1\) 个点
  -- \(x_1-x_0,x_2-x_0,...,x_n-x_0\) 线性无关
  -- 则上述 \(k+1\) 个点构成的单纯形为
  -- \(C= Conv\{x_0,x_1,...,x_k \}=\{\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_kx_k \}，\ \ \theta \geq 0， \ \ 1^T\theta=1\)

证明：Simplex是PolyHydron的一种

过程见 “凸优化理论（三）”