凸优化理论（一）

组合

线性组合

• \(ax_1+bx_2\) ，
• 图像理解： \(x_1,x_2\)与原点0构成一个平面

仿射组合

• \(ax_1+bx_2\)，且 \(a+b=1\)，
• 图像理解：穿过\(x_1,x_2\)的一条直线

凸组合

• \(ax_1+bx_2\)，且 \(a+b=1\)，且 \(a,b \in [0,1]\) 或者理解为 “a,b 非负且和为 1”
• 图像理解：\(x_1,x_2\)之间的一条线段

锥组合

• \(ax\)， 且\(a \geq 0\) 或者理解为 “系数 a 非负”
• 图像理解：自原点 \(O\) 经过点 \(x\) 的一条射线

仿射组合、凸组合、凸锥组合

• 仿射组合：
  \(\theta_1+\theta_2+...+\theta_k=1\)
• 凸组合：
  \(\theta_1+\theta_2+...+\theta_k=1\)
  \(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k \geq 0\)
• 凸锥组合：
  \(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k \geq 0\)
• 凸组合的约束最严格（非负系数且和为1），锥组合次之（非负系数），仿射组合最宽松（任意实数但和为1）

集

只考虑2个点 \(x_1,x_2\) 的情况

仿射集

• 一条直线
• 经过 \(x_1,x_2\)
• 直线上任意点 \(x\) 都在该直线上

凸集

• 一条线段
• \(x_1,x_2\)之间
• 线段内任意点 \(x\) 都在该线段内

锥集

• 必然包含原点，是射线
• 可以是离散的多条射线
• 锥集不一定是凸集
  -- 考虑两条射线，各取一点，两点连线形成的线段不在原射线上

包

• 最小的凸集

仿射包

• 对于两点 \(x_1,x_2\)，仿射包是一条直线
• 对于三点 \(x_1,x_2,x_3\) ，仿射包是三点构成的平面

凸包

• 对于两点 \(x_1,x_2\)，凸包是一条线段
• 对于三点 \(x_1,x_2,x_3\) ，凸包是三点构成的三角形

锥包

• 冰淇淋
• 取的点如果共面，可以退化为2条射线所夹的平面

一个点的集合 \(C=\{X\}\)

• 是仿射集
• 是凸集
• 如果是原点，是锥集

空集 \(\phi\)

• 是仿射集
• 是凸集
• 是锥集