凸优化理论（一）

组合

线性组合

• \(ax_1+bx_2\) ，
• 图像理解： \(x_1,x_2\)与原点0构成一个平面

仿射组合

• \(ax_1+bx_2\)，且 \(a+b=1\)，
• 图像理解：穿过\(x_1,x_2\)的一条直线

凸组合

• \(ax_1+bx_2\)，且 \(a+b=1\)，且 \(a,b \in [0,1]\) 或者理解为 “a,b非负且和为1”
• 图像理解：\(x_1,x_2\)之间的一条线段

锥组合

• 待续。。。

集

只考虑2个点 \(x_1,x_2\) 的情况

仿射集

• 一条直线
• 经过 \(x_1,x_2\)
• 直线上任意点 \(x\) 都在该直线上

凸集

• 一条线段
• \(x_1,x_2\)之间
• 线段内任意点 \(x\) 都在该线段内

锥集

• 注意：锥集不一定是凸集。

包

仿射包

• 对于两点 \(x_1,x_2\)，仿射包是一条直线
• 对于三点 \(x_1,x_2,x_3\) ，仿射包是三点构成的平面

凸包

• 对于两点 \(x_1,x_2\)，仿射包是一条线段
• 对于三点 \(x_1,x_2,x_3\) ，仿射包是三点构成的三角形

锥包

一个点的集合 \(C=\{X\}\)

空集 \(\phi\)