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好的，我们来详细推导“II. PRELIMINARIES”（预备知识）部分的核心公式。这部分主要建立了系统模型和问题框架。

公式推导与分析

本节的核心在于建立系统的数学模型，并引入关键的控制器参数化方法。

1. 标称系统模型 (公式1, 2, 3, 4)

公式 (1):
$$y(t)=P_{n}(z^{-1})u(t)+v(t),\qquad(1)$$

• 推导基础： 这是线性系统最基本的输入-输出关系表达式。它表示在时间点 $t$ 的系统输出 $y(t)$ 由两部分组成：
  1. 控制作用： 系统的输入 $u(t)$ 经过标称过程模型 $P_{n}(z^{-1})$ 的动态响应。
  2. 扰动作用： 一个附加的扰动信号 $v(t)$，代表了所有未建模动态、噪声和外部干扰的综合影响。

公式 (2) & (3):
$$\begin{align*} P_{n}\left(z^{-1}\right)&=\frac{B_{n}\left(z^{-1}\right)}{A_{n}\left(z^{-1}\right)}z^{-d}\end{align*}\qquad(2)$$
$$\tilde{P}_{n}(z^{-1})=z^{d}P_{n}(z^{-1}),\qquad(3)$$

• 推导基础： 公式(2)是离散传递函数的标准形式，其中：
  • $A_{n}(z^{-1})$ 和 $B_{n}(z^{-1})$ 是关于后向移位算子 $z^{-1}$ 的多项式。
  • $z^{-d}$ 明确表示了系统的 $d$ 步纯时间延迟。
• 公式(3)的推导： 公式(3)定义了一个“无延迟”的标称模型。推导过程是简单的代数运算，旨在将延迟因子从传递函数中分离出来，便于后续控制器设计中的Diophantine方程求解。
  $$\tilde{P}_{n}(z^{-1}) = z^{d} \cdot P_{n}(z^{-1}) = z^{d} \cdot \left( \frac{B_{n}}{A_{n}} z^{-d} \right) = \frac{B_{n}}{A_{n}}$$

公式 (4):
$$\begin{array}{l}v(t)=N_{n}\left(z^{-1}\right) w(t)\\ N_{n}\left(z^{-1}\right)=\frac{H_{n}\left(z^{-1}\right)}{D_{n}\left(z^{-1}\right)},\end{array}$$

• 推导基础： 该公式假设扰动 $v(t)$ 可以由一个成形滤波器 $N_{n}(z^{-1})$ 驱动白噪声 $w(t)$ 来生成。这是一种常见的假设，它将有色噪声建模为白噪声通过一个线性系统（传递函数）。$H_n$ 和 $D_n$ 是该成形滤波器的分子和分母多项式。

2. 实际系统模型 (公式5, 6, 7)

论文考虑了模型不确定性，因此引入了更复杂的实际过程模型。

公式 (5):
$$\begin{align*} P_r\left(z^{-1}\right)&=P^*\left(z^{-1}\right)\left(1+\Delta_p\left(z^{-1}\right)\right)\quad\Delta_p\left(z^{-1}\right)\in R H_{\infty},\end{align*}$$

• 推导基础： 这是描述模型不确定性的经典方法——乘性不确定性。
  • $P^*(z^{-1})$ 是“真实的”名义过程，与 $P_n$ 结构相同但参数未知。
  • $\Delta_p(z^{-1})$ 是一个稳定的 ($\in RH_\infty)、有界的传递函数，代表了未建模的动态。项 $(1 + \Delta_p)$ 意味着真实模型 $P_r$ 是标称模型 $P^*$ 的一个“畸变”或“摄动”。

公式 (7):
$$y(t)=P_r\left(z^{-1}\right) u(t)+N^*\left(z^{-1}\right) w(t).\qquad(7)$$

• 推导基础： 此公式是公式(1)在实际系统中的直接应用。只需将标称模型 $P_n$ 和 $N_n$ 替换为它们对应的实际模型 $P_r$ (来自公式5) 和 $N^*$ (来自公式6) 即可得到。
  $$y(t) = (真实过程模型) \times u(t) + (真实扰动模型) \times w(t)$$
$$y(t) = P_r u(t) + N^* w(t)$$

3. 控制器参数化 (公式8) - Youla-Kucera参数化

这是本节最核心的概念。

公式 (8):
$$K(Q)=\frac{Q\left(z^{-1}\right)}{1-P_n\left(z^{-1}\right) Q\left(z^{-1}\right)},\quad Q\left(z^{-1}\right)\in R H_{\infty},\quad(8)$$

• 推导基础（原理）： Youla-Kucera参数化是一个重要的控制理论结果。它指出，对于一个稳定的标称对象 $P_n$，所有能使其保持闭环稳定的控制器 $K$ 的集合，可以由一个稳定的、真分的自由参数 $Q$ 来参数化。公式(8)正是这种参数化的直接表现形式。

• 推导过程（思路）： 可以从标准的闭环系统框图出发。对于一个标称对象 $P_n$ 和控制器 $K$，其灵敏度函数为 $S = 1/(1+P_n K)$，补灵敏度函数为 $T = P_n K / (1+P_n K)$。可以证明，对于稳定的 $P_n$，所有能镇定的控制器满足 $T = P_n Q$，其中 $Q$ 是任意稳定的传递函数。然后，通过 $K = T / (P_n (1-T)) = (P_n Q) / (P_n (1-P_n Q)) = Q / (1 - P_n Q)$ 即可推导出公式(8)的形式。

• 关键意义： 这种参数化的巨大优势在于，控制器的设计问题从一个对 $K$ 的（可能是非凸的）优化问题，转化为了对一个稳定传递函数 $Q$ 的优化问题。由于 $Q$ 本身被约束是稳定的，这大大简化了优化过程，并自然保证了标称闭环系统的稳定性。

图2直观地展示了所讨论的系统：一个参数化的控制器 $K(Q)$ 被应用于存在不确定性 ($\Delta_p$) 的实际过程 $P_r$。

总结

“预备知识”部分系统地建立了从简单标称模型到复杂实际模型的数学描述，并引入了强大的Youla-Kucera控制器参数化工具，为后续第三、四节中分别提出的基于模型的和数据驱动的性能优化方法奠定了坚实的理论基础。