生成函数相关

P6295 有标号 DAG 计数

考虑不一定弱联通的 DAG 的 EGF， ln 一下得到答案。

\(F[i]\) : \(i\) 个点的有标号 DAG 数量

\(F[i] = \sum_{j = 1} ^ {i} (-1) ^ {j - 1} \dbinom{i}{j} F[i-j] 2^{(j)(i-j)}\)

容斥的含义：钦定一个大小为 \(j\) 的集合是 DAG 的零度点。删去集合后仍是个 DAG。

trick: \(j \times (i - j) = \binom{i}{2} - \binom{j}{2} - \binom{i - j}{ 2}\)

容斥就是一个二项卷积的形式。

\(\dfrac{F[i]}{2^{\binom{i}{2}}} = \sum_{j = 1}^{i} \dbinom{i}{j} \dfrac{(-1)^{j - 1}}{2^\binom{j}{2}} \cdot \dfrac{F[i-j]}{ 2^{\binom{i - j}{ 2}}}\)

设 \(F(x), G(x)\) 为两个东西的 EGF

\(F(x) = \sum_{j\ge 0}\dfrac{-1^{(j-1)}}{j! 2^{\binom{j}{2}}}x^j\)
\(G(x) = \sum_{j\ge 0}\dfrac{F[j]}{j! 2^{\binom{j}{2}}}x^j\)

反正就是 \(G(x)\) 的系数钦定 \(j = 0\) 的时候为 \(0\) 即可。

\(F(x) = F(x) G(x) + 1\)

\(F(x) = \dfrac{1}{1 - G(x)}\)

$ + 1$ 考虑到上述公式钦定 \(i \ge 1\)，转移时 \(j = 0\) 都忽略了，但是 \(F[0] = 1\)。

注意取 ln 和 计算 F(x) 的系数是两个过程。

我们能使用 exp 的组合意义，意味着不能存在 \(2^{\dbinom{i}{2}}\)

故求逆以后需要先还原点值在进行一个 ln 的ln。