Miller Rabin算法学习笔记

\(Miller\ Rabin\)算法学习笔记

\(Miller\ Rabin\)是一种快速的随机化的素数测定方法。

它基于以下定理

二次探测定理：若\(x^2\equiv1\pmod p\),则\(x\equiv±1\pmod p\)

证明大概就是\((x-1)(x+1)\equiv0\pmod p\)

然后我们选取一个底\(a\),设你当前要判断的数为\(x\)

初始我们判断\(a^{x-1}\)是否为\(1\)，不是判定\(x\)为合数

然后判断\(a^{\frac {x-1}2}\)是否为\(1\)或\(p-1\)，不是判定\(x\)为合数

如此反复，直到指数是奇数或余数为\(p-1\)为止。

于是此时我们就认为\(x\)通过了基于\(a\)为底的测试。

一次测试错误率大概是\(\frac 14\)

多次测试的错误率一般认为是\(\frac 1{4^x}\)的，可以接受。

代码就直接模拟就可以了。

\(upd:\)我们可以优化一下，从后往前检测，如果其中有一个通过了二次探测，就判定\(x\)是质数。

优化后代码：

/*bool Test(ll a,ll x)
{
	if(a>=x)return 1;
	ll ret=qpow(a,x-1,x),s=x^1;
	while(ret==1&&!(s&1))s>>=1,ret=qpow(a,s,x);
	return ret==1||ret==(x^1);
}*/
bool Test(ll a,ll x)
{
	if(a>=x)return 1;
	ll ret,s=x^1;
	int p=__builtin_ctzll(s);
	ret=qpow(a,s>>p,x);
	if(ret==1||ret==(x^1))return 1;
	while(p--&&ret!=(x^1))ret=mul(ret,ret,x);
	return p>=0;
}
int lst[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
bool Miller_Rabin(ll x)
{
	if(x==1)return 0;
	if(x==2)return 1;
	if(x&1)
	{
		for(int i=0;i<9;++i)if(!Test(lst[i],x))return 0;
		return 1;
	}
	return 0;
}

\(2st\ upd:\)在一般是选\(2,3,7,61,24251\)为基底，此时在\(1e16\)内只有\(46856248255981\)是强伪素数。