CF1617E

抽象成一个图论问题。无向图，无穷个点，若 \(x+y=2^k\) 则有边，求 \(n\) 个特殊点中两两最短路的最大值。

可以发现这张图是一棵树。

证明：对于任意一个 \(i\)，则有唯一的 \(j\in[0,i-1]\) 满足 \(i+j\) 是 \(2\) 的次幂。考虑若存在 \(0\le j_2\lt j_1\lt i,i+j_1=2^{k_1},i+j_2=2^{k_2}\)，则有 \(j_1-j_2=2^{k_2}(2^{k_1-k_2}-1)\)，即 \(j_1\bmod 2^{k_2}=j_2\bmod 2^{k_2}\)，因为 \(0\le j_2\lt j_1\lt i\le 2^{k_2}\)，则有 \(j_1=j_2\)，与假设矛盾。

所以对于每个 \(i\)，都向它对应的这个 \(j\) 连边就好了。

于是原问题变成了在树上找直径。

不难发现树高是 \(\log w\) 级别的。

所以暴力跳 \(\text{lca}\) 啥的就好了。

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log^2w)\)。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200005;
int n;
int a[N];

int fa(int x) { for (int i = 0; ; ++i) if ((1 << i) >= x) return (1 << i) - x; }

int dis(int x, int y) {
	int res = 0;
	while (x != y) {
		if (x < y) swap(x, y); x = fa(x);
		++res;
	}
	return res;
}

int solve(int x) {
	int mx = 0, p = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int cur = dis(a[x], a[i]);
		if (mx < cur) {
			mx = cur;
			p = i;
		}
	}
	return p;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	int t1 = solve(1), t2 = solve(t1);
	printf("%d %d %d", t1, t2, dis(a[t1], a[t2]));
	return 0;
}