洛谷P4317

Description

定义 \(sum(i)\) 表示 \(i\) 的二级制中 1 的个数

给定一个 N，求 \(\prod_{i=1}^N sum(i)\)

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Solution

显然是数位 DP

考虑 DP 数组应存储的信息以及维数

设 \(f[i][j][k]\) 表示枚举到第 i 位，数字为 j，此时二进制中 1 的个数为 k

由 Suzt_ilymtics 的口胡和 Aliemo 的证明可得转移方程和限制条件：

\[f[i][0][j]=\sum_{k=0}^if[i-1][1][k]+f[i-1][0][k] \]

\[f[i][1][j]=\sum_{k=1}^if[i-1][0][k-1]+f[i-1][1][k-1] \]

然后，对于答案的统计

对于首位为 1 且前面有 \(cnt\) 个 1 的 \(f\) ,

\[ans=ans\times (j+cnt)^{f[i][0][j]}\mid i\in[1,len),j\in[1,len/2-cnt] \]

而对于首位为 0 的 \(f\)，

\[ans=ans\times j^{f[i][1][j]}\mid i\in [1,len),j\in[1,i/2] \]

最后答案就是 \(ans_{1,N}\)

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自己在做题过程中有许多错误，总结一下：

1. 注意边界问题和初始化问题
2. 注意什么地方该取模（统计）
3. 注意限制条件的判断以及循环中上下界的大小
4. 压行什么得确保没问题了再说，避免 Debug 困难

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Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define Mod 10000007
#define int long long

using namespace std;

int a[50];
int n,f[80][2][80];

inline int read(){
	int s=0,w=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return w*s;
}

inline int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	while(y){if(y&1)ans=(ans*x)%Mod;x=(x*x)%Mod;y>>=1;}
	return ans%Mod;
}

inline void init(){
	f[1][1][1]=1;f[1][0][0]=1; 
	for(register int i=2;i<64;i++)
		for(register int j=0;j<=1;j++)
			for(register int k=0;k<=i;k++)
				for(register int s=0;s<=1;s++){
					if(j==0) f[i][j][k]+=f[i-1][s][k];
					if(j==1&&k!=0) f[i][j][k]+=f[i-1][s][k-1];
				}
}

inline int solve(int x){
	memset(a,0,sizeof a);
	int len=0,cnt=1,ans=0;
	while(x){a[++len]=x%2;ans+=a[len],x/=2;}
	for(register int i=len-1;i>=1;i--){
		if(a[i]) for(register int j=0;j<=len-cnt;j++)
			if(f[i][0][j]!=0) ans=(ans*Pow(j+cnt,f[i][0][j]))%Mod;
		cnt+=a[i];
	} 
	for(register int i=1;i<len;i++)
		for(register int j=1;j<=i;j++)
			if(f[i][1][j]!=0) ans=(ans*Pow(j,f[i][1][j]))%Mod;
	return ans%Mod;
}

signed main(){
	n=read();init();
	printf("%lld",solve(n));
	return 0;
}

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