【codeforces 1187F】Expected Square Beauty
题目描述
求随机整数序列 $a$ 的极长同权连续段数的平方的期望在模 $10^9+7$ 意义下的值
其中 $l_i \le a_i \le r_i$,且等概率随机
社论
editorial:社论
为了方便起见,先把 $r$ 加上 $1$,这样区间长度就是 $r-l$ 了
设 $q_i$ 为事件 $a_i=a_{i-1}$,设 $q_i$ 为事件 $a_i \ne a_{i-1}$
下文中事件和概率混淆起来使用
那么连续段数的期望就是 $\sum_{i=1}^{n}p_i$
考虑计算段数的平方的概率:
$$
\begin{aligned}
&E\left(\left( \sum_{i=1}^{n}p_i \right)^2\right) \\
=&E\left( \sum_{i=1}^{n}p_i^2 \right)+E\left( \sum_{|i-j|>1}p_ip_j \right)+E\left( \sum_{|i-j|=1}p_ip_j \right)
\end{aligned}
$$
对于 $E(p_i^2)$,它显然就是 $E(p_i)$
对于 $E(p_ip_{j})$,且 $|i-j|>1$,它们是独立事件,因此 $E(p_ip_j)=E(p_i)E(p_j)$
对于 $E(p_ip_{i+1})$,考虑对其容斥,有 $E(p_ip_{i+1})=1-q_i-q_{i+1}+P(p_i \land p_{i+1})$
那么 $P(p_{i} \land p_{i+1})=\frac{\min(r_{i-1},r_{i},r_{i+1})-\max(l_{i-1},l_{i},l_{i+1})}{(r_{i-1}-l_{i-1})(r_{i}-l_{i})(r_{i+1}-l_{i+1})}$