【codeforces 1187F】Expected Square Beauty

题目描述

求随机整数序列 $a$ 的极长同权连续段数的平方的期望在模 $10^9+7$ 意义下的值

其中 $l_i \le a_i \le r_i$，且等概率随机

社论

editorial:社论

为了方便起见，先把 $r$ 加上 $1$，这样区间长度就是 $r-l$ 了

设 $q_i$ 为事件 $a_i=a_{i-1}$，设 $q_i$ 为事件 $a_i \ne a_{i-1}$

下文中事件和概率混淆起来使用

那么连续段数的期望就是 $\sum_{i=1}^{n}p_i$

考虑计算段数的平方的概率：

$$
\begin{aligned}
&E\left(\left( \sum_{i=1}^{n}p_i \right)^2\right) \\
=&E\left( \sum_{i=1}^{n}p_i^2 \right)+E\left( \sum_{|i-j|>1}p_ip_j \right)+E\left( \sum_{|i-j|=1}p_ip_j \right)
\end{aligned}
$$

对于 $E(p_i^2)$，它显然就是 $E(p_i)$

对于 $E(p_ip_{j})$，且 $|i-j|>1$，它们是独立事件，因此 $E(p_ip_j)=E(p_i)E(p_j)$

对于 $E(p_ip_{i+1})$，考虑对其容斥，有 $E(p_ip_{i+1})=1-q_i-q_{i+1}+P(p_i \land p_{i+1})$

那么 $P(p_{i} \land p_{i+1})=\frac{\min(r_{i-1},r_{i},r_{i+1})-\max(l_{i-1},l_{i},l_{i+1})}{(r_{i-1}-l_{i-1})(r_{i}-l_{i})(r_{i+1}-l_{i+1})}$