【eoj 921】熟练剖分

题目描述

给定一棵 $n(n \le 3000)$ 个节点的有根树，求它的随机剖分后，所有叶子结点到根节点的轻边个数的最大值的期望

题解

为啥 $noip$ 难度的 $dp$ 题，在该次省选模拟的时候没人过啊？？？

设 $f_{i,j,0/1}$ 表示以 $i$ 为根，最长轻边个数为 $j$，是否有过 $i$ 往下连的重边的方案数

不难得到：

$$
\begin{cases}
f'_{u,j,0}=\left(f_{u,j,0} \sum_{k=0}^{j-1} f_{v,k,1}\right)+\left(f_{v,j-1,0}\sum_{k=0}^{j-1}f_{u,k}\right) \\
f'_{u,j,1}=\left(f_{u,j,0}\sum_{k=0}^{j}f_{v,k,1} \right) + \left( f_{u,j,1}\sum_{k=0}^{j-1}f_{v,k,1} \right)+\left( f_{v,j-1,1}\sum_{k=0}^{j-1}f_{u,k,0} \right)+\left( f_{v,j,1}\sum_{k=0}^{j-1}f_{u,k,1} \right)
\end{cases}
$$

对于叶子，有 $f_{u,0,1}=1$

对于其它点，初始情况有 $f_{u,0,0}=1$

设根为 $R$，则答案为：

$$
\frac{\sum_{j=0}^{n}j \times f_{R,j,1}}{\prod_{u=1}^{n}\left(|G_u|+\left[|G_u|=0\right] \right)}
$$