解题报告-论对“筛”的新理解

解题报告-论对“筛”的新理解

筛，顾名思义，就是在值域内把所有不符合条件的数去掉，得到符合条件的一些数。

我们最常见的埃氏筛，就是通过质数筛去不是质数的数。这给我一个启发：筛就类似于 \(\text{DP}\)，数论意义下的父状态只与子状态有关。

既然是 \(\text{DP}\)，那么必然分优秀的 \(\text{DP}\) 和不优秀的 \(\text{DP}\)。埃氏筛就很不优秀。用我们动态规划观察题面性质法得到，一个数的状态只能是“是质数”和“不是质数”两种。而在更新的过程中，如果我们通过某些转移把一个数的状态从“是质数”变成了“不是质数”，那我们就完成了一次 \(\texttt{true}\rightarrow \texttt{false}\) 的转变，而根据我们的数论知识和 \(\text{DP}\) 知识，我们可以把“不是质数”这个状态看成一个最优状态，不会再被更新。这就意味着，如果我们想要让 \(\text{DP}\) 最优，那么一个数的状态最多被遍历一次。但是埃氏筛里，很多数的状态都被遍历了不止一次，所以我们认为它是 \(O(n\log \log n)\) 的。

\(\log\) 套 \(\log\)，已经很不错了，但是如果正巧碰上我们要卡常，那埃氏筛就应该被无情的刨除。用 \(\text{DP}\) 的思想去看，既然一个数的状态只会被改变一次，那么一个数最好情况下只被遍历一次。既然只被遍历一次，其必然可以去掉一些不必要的遍历，而只剩下 \(O(1)\) 个子状态来更新它。这里我们已经无意间用上了 \(\text{DP}\) 推公式的思想，先设一个较劣状态，然后想怎么去优化它。

要只剩下 \(O(1)\) 个子状态，必然是要找到某个数的特有特征，形成唯一的对应关系，使得在 \(\text{DP}\) 思想下它只会被一种状态遍历和更新。欧拉筛找到的性质跟数 \(x\) 的最小质因子有关。设数 \(x\) 的最小质因子为 \(p\)，那么 \(x\) 的状态只会被 \(\frac{x}{p}\) 更新，那么每个数只会被更新 \(1\) 次，所以这个算法是 \(O(n)\) 的。

综上所述，如果我们用 \(\text{DP}\) 中“最优状态”的思想去看 \(\texttt{true-false}\) 筛，那么这个筛中每个数的“最优状态”就是 \(\texttt{false}\)，\(\texttt{true}\) 可以变成 \(\texttt{false}\)，但是 \(\texttt{false}\) 不能再变了，所以一个数的状态最多转变 \(1\) 次。进一步推广，如果一个数的状态有 \(k\) 种，那么其状态的变化是一个 \(k-1\rightarrow k-2\rightarrow\dots\rightarrow 0\) 的递进关系，且不会由小变大（由优状态变到劣状态），所以一个数的状态最多转变 \(k-1\) 次，所以最优复杂度是 \(O(kn)\) 的。