解题报告-论对“区间可持久化”的新理解

解题报告-论对“区间可持久化”的新理解

当我第一眼看到“可持久化 \(\texttt{Trie}\)”的时候，我以为这不过是一个 \(\texttt{Trie}\)+可持久化罢了。事实证明也是这样，在后面的代码实现中，我也是一遍打对了这个紫色板子。

那么，一道模板题，有什么好说的？正是因为控住我的不是模板，这道题才得以上升至好题之列。

题意很清楚，但是一开始我甚至没有想到这怎么跟可持久化 \(\texttt{Trie}\) 联系起来。后来看到标签里面说前缀和，我以为是后缀贴上了前缀的标签，于是开始考虑后缀怎么写。想到了线段树等很多个做法，但是都假了。

卡掉我的基本都是同一个点：它是异或。如果 \(a>b\)，那么不一定有 \(a \oplus c>b\oplus c\)。

于是我到题解里寻求帮助。我发现了这道题中的第一个关键点：

• 首先，它确实是一个前缀问题。如果我们直接维护后缀，那么意味着我们必须区间更新，但是前缀和相反。往序列末尾加入一个数的时候，只用更改一个值。这启示我们，一切异或问题都是可以逆向考虑的。比如记 \(s_i\) 表示 \(a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_i\)，那么 \(\oplus_{i}^{n} a_i=s_{i-1}\oplus s_n\)。因为异或是可以自反的，即 \(a\oplus b=c\Rightarrow a\oplus c=b\)。

那么下一步就显得略微简单了。我们已经建出了一棵 \(01-\texttt{Trie}\) 树，每次查询的时候，设查询中异或的数为 \(x\)，那么 \(x\leftarrow x\oplus s_n\)，然后在 \(\texttt{Trie}\) 树中找到与 \(x\) 异或最大的数。具体也很好找，就是每一位都尽量与 \(x\) 不同即可。

可持久化也很简单，每加入一个数，就更新一下，最后会生成 \(n\) 棵 \(\texttt{Trie}\)。

接下来是第二大难点：如果这样做，我们只能查询 \(1\sim r\) 的区间，而非任意的 \(l\sim r\)。很显然，这里也不可能像可持久化线段树：静态区间第 \(k\) 大一样，用一个前缀和的思想。我们该如何判断，哪些数是合法的，能够被统计进答案，哪些数是不合法的，要被从答案里踢出去？

这里有一个几乎所有区间可持久化通用的 \(\texttt{Trick}\)，就是 \(\texttt{timestamp}\)。众所周知，每次修改一条链的时候都要把链上每个点都复制一遍。在第 \(k\) 个版本的线段树里，我们记录 \(tim_i\) 表示 \(i\) 号点最晚什么时候被复制，这里 \(tim_i\le k\)。那么，统计 \([l,r]\) 答案的时候，我们从第 \(r\) 个版本的树开始找，那么这个时候树上的合法结点只有 \(tim\ge l\) 的。对于那些 \(tim\le l\) 的——看不见！就当没有这个结点。那么这道题就圆满完成了。

总结下来，这道题直接拿下两个 \(\texttt{Trick}\)，一个知道但是没有形成意识，一个是根本不知道，所以这道题我认为是好的。