[解析几何之平面表示]

权作复习。

• 空间中的一个点p₀和两个不共线的向量确定一个过此点和与给定的两向量平行的平面∏。

即：r^{^}-r_0^{^}=t₁u^{^}+t₂v^{^}    (注：r^{^}表示向量)，此之谓∏的向量式参数方程。注：以(p₀,u^{^},v^{^})为仿射标架（u^{^},v^{^}为方向向量）。

• 若采取仿射标架（ο;e_1^{^},e_2^{^},e_3^{^}）,p₀（r0^{^}）为(x0,y0,z0),u^{^}为(x1,y1,z1),v^{^}为(x2,y2,z2)，则平面∏最终可用该坐标系下的坐标表示。

即ax+by+cz=d,其中a,b,c不全为零（a,b,c由u,v的坐标表示）。此之谓平面∏的一般方程。

• 一个平面亦可由该平面上一点以及它的一个法向量确定，即p₀p^{^}·n^{^}=0；若u^{^},v^{^}是∏的方向向量，则u^{^}×v^{^}是∏的法向量，即

p₀p^{^}•(u^{^}×v^{^})=0，从而a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0;   注：a,b,c为法向量。此之谓点法式方程。

若ax+by+cz=d，则可化成上述形式，因此(a,b,c)是∏的一个法向量。可表示为w^•x^=b.

• • 平面外一点p到平面的距离可用向量内积来求得。内积公式为：

p₀p^•pn^=|p₀p^|·|pn^|·cos<>, 注：pn为过点p的法向量,下文简记为n。p0为平面内一点。p₀p^=p^-p0^

两边取绝对值，即有点面距离为：|p₀p^|·cos<>=(p₀p^•pn^) / |pn|.  尚未考虑正负号。

(p^-p0^)•n=n•p^-n•p0^=n•p^-d。注：n•p0^=d。

• • 点面距离：|n•p^-d| / |n|亦即
    
    • |w^•x^-b| / |w^|