计算几何学习笔记（一）：二维计算几何

平面几何基本知识

这部分是小学 / 初中 / 高中知识。

平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点 \(O\) 的两条数轴 \(x, y\) 构成平面直角坐标系。

对于平面内任意一点 \(A\)，过点 \(A\) 分别向 \(x\) 轴、\(y\) 轴作垂线，垂足在 \(x\) 轴、\(y\) 轴上的对应点 \(a, b\) 分别叫做点 \(A\) 的横坐标、纵坐标，有序数对 \((a, b)\) 叫做点 \(A\) 的直角坐标。

平面极坐标系：在平面上选一定点 \(O\)，称为极点；

自极点引出一条射线 \(Ox\)，称为极轴；

选择一个单位长度（在数学问题中通常为 \(1\)），一个角度单位（通常为弧度）及其正方向（通常为逆时针方向）；

就建立了极坐标系。

设 \(A\) 为平面上一点。

  • 极点 \(O\) 与 \(A\) 之间的距离 \(|OA|\) 称为极径，记为 \(\rho\)；

  • 以极轴为始边，\(OA\) 为终边的角 \(\angle xOA\) 称为极角，记为 \(\varphi\)。

那么有序数对 \((\rho,\varphi)\) 即为 \(A\) 的极坐标。

向量：见线性代数学习笔记（一）：线性代数基础知识

点积：不用矩阵表示。已知两个向量 \(\boldsymbol a, \boldsymbol b\)，它们的夹角为 \(\theta\)，那么它们的点积 \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = |\boldsymbol a||\boldsymbol b| \cos \theta\)。

叉积：不用矩阵表示。已知两个向量 \(\boldsymbol a, \boldsymbol b\)，它们的夹角为 \(\theta\)，那么它们的叉积 \(\boldsymbol a \times \boldsymbol b = |\boldsymbol a||\boldsymbol b| \sin \theta\)。

点与直线基础问题

接下来的知识和高中数学有所不同，信息学更喜欢用向量来计算。

判断向量夹角关系

根据 \(\cos\) 的性质，可以判断两个向量 \(\boldsymbol a\) 和 \(\boldsymbol b\) 的夹角关系：

  1. \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = 0\)，两向量垂直；

  2. \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b < 0\)，夹角小于 \(90^{\circ}\)；

  3. \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b > 0\)，夹角大于 \(90^{\circ}\)。

判断向量位置关系

根据 \(\sin\) 的性质，可以判断两个向量 \(\boldsymbol a\) 和 \(\boldsymbol b\) 的位置关系：

  1. \(\boldsymbol a \times \boldsymbol b = 0\)，两向量共线；

  2. \(\boldsymbol a \times \boldsymbol b < 0\)，\(\boldsymbol b\) 在 \(\boldsymbol a\) 的顺时针方向；

  3. \(\boldsymbol a \times \boldsymbol b > 0\)，\(\boldsymbol b\) 在 \(\boldsymbol a\) 的逆时针方向。

向量旋转

假设我们要将 \(\boldsymbol v = (a, b)\) 逆时针旋转 \(\theta\) 度。根据向量的三角表示的运算，可以得到旋转后的向量 \(\boldsymbol v' = (a \cos \theta - b \sin \theta, b \cos \theta + a \sin \theta)\)。

判断线段是否相交

首先特判一些特殊情况。如果两线段平行，自然不能相交。这种情况通过判断线段所在直线的斜率是否相等即可。

对于其他情况，我们先介绍以下这种判断方法。

快速排斥实验：规定「一条线段的区域」为以这条线段为对角线的，各边均与某一坐标轴平行的矩形所占的区域，那么可以发现，如果两条线段没有公共区域，则这两条线段一定不相交。

注意到如果两条线段有公共区域，它们也有可能不相交，因此还有另一种判断直线是否相交的办法。

跨立实验：如果对于两线段 \(AB, CD\)，\(CD\) 线段的两个端点分布在 \(AB\) 线段所在直线的两侧，且 \(AB\) 线段的两个端点分布在 \(CD\) 线段所在直线的两侧，我们就称即两线段相交。

具体的，我们从 \(A\) 的向 \(C\) 和 \(D\) 的各连一条线段，再将其看成向量。如果 \(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}\) 与 \(\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AB}\) 异号，那么就可以说明 \(C\) 和 \(D\) 在 \(AB\) 两侧。

注意到当两条线段共线但不相交时也可以通过跨立实验，但是这样就不能通过快速排斥实验。因此如果两条线段既通过了快速排斥实验，又通过了跨立实验，那么这两条直线就相交了。

求线段交点

设 \(AB, CD\) 交于点 \(E\)，那么 \(\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OA} + \displaystyle\frac{\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{AB}} \times \overrightarrow{AB}\)，通过等面积法可以得证。

注意：如果两线段不交，这个式子也会返回它们所在直线的交点，此时需要通过上一小节的知识特判。

还有一点，如果 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{CD}\) 共线，那么分母会变成 \(0\)，此时也需要特判。

点击查看代码 
Point Intersection(Line a, Line b){
  Vector x = a.t - a.s, y = b.t - b.s, z = a.s - b.s;
  return a.s + x * (Cross(y, z) / Cross(x, y));
}

判断点是否在直线左侧

点到线段的距离

假设我们要求点 \(C\) 到线段 \(AB\) 的距离。首先，如果 \(\triangle ABC\) 是钝角三角形且 \(C\) 为锐角顶点，那么 \(C\) 到线段 \(AB\) 的距离就是 \(\min(AC, BC)\)，需要特判。

接下来，依然使用等面积法，根据叉积的几何含义，可以得到 \(d = \displaystyle\frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AB}|}\)。

点到直线的垂足

设过 \(C\) 往 \(AB\) 作垂线垂足为 \(H\)。根据点积的几何含义，可以得到 \(\overrightarrow{AH} = \displaystyle\frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}|}{|AB|^2} \overrightarrow{AB}\)。

多边形基础问题

多边形周长

直接计算即可。

多边形面积

设多边形顶点按顺时针排列为：\(\boldsymbol{a_1} = (x_1, y_1), \boldsymbol{a_2} = (x_2, y_2), \dots, \boldsymbol{a_n} = (x_n, y_n)\)，那么这个多边形的面积 \(S = \displaystyle\frac 12 \left(\boldsymbol{a_n} \times \boldsymbol{a_1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} \boldsymbol{a_i} \times \boldsymbol{a_{i + 1}} \right)\)。

证明：

点击查看代码 
double area(){
	n = p.size();
	double res = 0;;
	for(int i = 0; i < n; i++)
		res += (Cross(p[i], p[(i + 1) % n]));
	res /= 2;
	return res;
}

判断点在多边形内

一个可以感性理解的方法。我们考虑以该点为端点引出一条射线，如果这条射线与多边形有奇数个交点，则该点在多边形内部，否则该点在多边形外部。根据若尔当曲线定理，这条射线每次与多边形的一条边相交，就切换一次与多边形的内外关系，所以统计交点数的奇偶就可以了。

点击查看代码

判断点在凸多边形内

此时的多边形变成了凸的，此时我们就有了更简单的方法。

一个非常简单的思路为，我们直接花费 \(\mathcal O(n)\) 的时间复杂度，枚举凸包上的每条边，用叉积判断这个点是否在该边的左侧。

还有一种方法是，钦定一个顶点，二分出它可能在以这个顶点为顶点，多边形上的边为底边的哪个三角形内，看它是否在那条边左侧即可。不过值得注意的是，它可能不在任何一个三角形中，需要特判。

点击查看代码 
bool inco(Point A, vector <Point> &a){
	int l = 0, r = a.size() - 1;
	while(l < r){
		int mid=(l + r + 1) >> 1;
		if(sgn(Cross(a[mid] - a[0], A - a[0])) >= 0)
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
	if(l == (int)a.size() - 1){
		if(sgn(Cross(A - a[0], A - a[l])) == 0 && sgn(a[0].x - A.x) <= 0 && sgn(A.x - a[l].x) <= 0 && sgn(a[0].y - A.y) <= 0 && sgn(A.y - a[l].y) <= 0)
			return 1;
		return 0;
	} else if(Cross(a[l + 1] - a[l], A - a[l]) >= 0)
		return 1;
	else
		return 0;
}

经典例题

洛谷 P4468 [SCOI2007] 折纸

洛谷 P4529 [SCOI2003] 切割多边形

距离

欧几里得距离

曼哈顿距离

切比雪夫距离

三角剖分

自适应辛普森法

自适应辛普森法是一种精度比较高的拟合积分的方法。

洛谷 P4525 【模板】自适应辛普森法 1

一般我们求积分都是通过矩形去拟合，如图所示：

但是经过大量的实验（？），我们发现如果在计算机上使用这种方法去求积分，精度比较低，因此我们发扬人类智慧，用二次函数去拟合原函数。

首先，我们根据多项式的积分，可以得到 \(\displaystyle\int ax^2 + bx + c \mathrm dx = \frac a3 x^3 + \frac b2 x^2 + cx + C\)，我们将其设为 \(g(x)\)，表示该二次函数下的面积。

和用矩形去拟合函数一样，我们将 \([l, r]\) 分成若干个小区间，每个小区间用二次函数拟合原函数 \(f(x)\) 在这一区间下的面积，再求和，可以得到 \(\displaystyle\int_l^r g(x) \mathrm dx = \int_l^r \frac a3 x^3 + \int_l^r \frac b2 x^2 + \int_l^r cx = \frac{a (r^3 - l^3)}{3} + \frac{b (r^2 - l^2)}{2} + c(r - l)\)。

不过我们发现这个式子似乎和 \(g(x)\) 没有太大关系，因此我们胡乱化简，看看能不能在分子处凑出 \(g(x)\) 的形式，结果还真化简成功了：\(\displaystyle\frac{a (r^3 - l^3)}{3} + \frac{b (r^2 - l^2)}{2} + c(r - l) = \frac{(r - l) \left[a l^2 + bl + c + a r^2 + br + c + 4 \left(\frac{a l^2 + 2alr + a r^2}{4} + \frac{bl + br}{2} + c\right) \right]}{6} = \frac{(r - l) \left[g(l) + g(r) + 4 g \left(\frac{l + r}{2} \right) \right]}{6}\)。

由于我们是用 \(g(x)\) 来拟合 \(f(x)\)，因此 \(g(x) \approx f(x)\)，因此 \(\displaystyle\frac{(r - l) \left[g(l) + g(r) + 4 g \left(\frac{l + r}{2} \right) \right]}{6} \approx \frac{(r - l) \left[f(l) + f(r) + 4 f \left(\frac{l + r}{2} \right) \right]}{6}\)，也就是 \(f(x)\) 在 \([l, r]\) 这一段的近似积分啦。

但是这样精度还是不够，因此我们不断将 \([l, r]\) 拆分成 \([l, mid]\) 和 \([mid + 1, r]\)，将两边分别求积分，再加起来就可以了。

点击查看代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
double a, b, c, d, L, R;
double f(double x) {
	return (c * x + d) / (a * x + b);
}
double simpson(double l, double r) {
	return (f(r) + f(l) + 4 * f((l + r) / 2)) * (r - l) / 6;
}
double getans(double l, double r) {
	double mid = (l + r) / 2;
	if(fabs(r - l) <= eps)
		return simpson(l, r);
	else
		return getans(l, mid) + getans(mid, r);
}
int main(){
	scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d, &L, &R);
	printf("%.6lf", getans(L, R));
	return 0;
}

洛谷 P4526 【模板】自适应辛普森法 2

我觉得这道题目是难在判断收敛性上，而不是代码上。

无穷界积分的审敛法

无穷间断点的审敛法

点击查看代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
double a, L, R;
double f(double x) {
	return pow(x, a / x - x);
}
double simpson(double l, double r) {
	return (f(r) + f(l) + 4 * f((l + r) / 2)) * (r - l) / 6;
}
double getans(double l, double r, double ans) {
	double mid = (l + r) / 2, lans = simpson(l, mid), rans = simpson(mid, r);
	if(fabs(lans + rans - ans) <= eps)
		return ans;
	else
		return getans(l, mid, lans) + getans(mid, r, rans);
}
int main(){
	scanf("%lf", &a);
	L = eps, R = 20;
	if(a < 0)
		printf("orz");
	else
		printf("%.5lf", getans(L, R, simpson(L, R)));
	return 0;
}

凸包

我觉得这应该算是计算几何中最重要的一个知识点了，不光对于计算几何很重要，对于 DP 也非常重要。

定义

满足能围住平面上一些点的最小凸多边形。

凸多边形就是内角都小于 \(180^{\circ}\)。

\(\text{Andrew}\) 算法

感觉和用单调栈维护决策单调性差不多

首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。显然，此时纵坐标最大和最小的点都应该出现在凸包上。

我们只考虑如何求出上凸壳，下凸壳同理。由于上凸壳中每个线段的斜率是单调递减的，于是我们用一个栈来维护凸壳上的点，每次新加入一个点 \(P\)，如果 \(P\) 与栈顶点连线的斜率大于栈顶点与次栈顶点联线的斜率，那么我们就将栈顶弹出，直到满足条件或者栈内只有一个点。

洛谷 P2742 [USACO5.1] 圈奶牛Fencing the Cows /【模板】二维凸包

点击查看代码 
int n, sta[N], top;
void Convex_hull(){
	sort(p + 1, p + n + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		while(top >= 2 && sgn(Cross(p[sta[top]] - p[sta[top - 1]], p[i] - p[sta[top]])) <= 0)
			top--;
		sta[++top] = i;
	}
	int tmp = top;
	for(int i = n - 1; i >= 1; i--){
		while(top > tmp && sgn(Cross(p[sta[top]] - p[sta[top - 1]], p[i] - p[sta[top]])) <= 0)
			top--;
		sta[++top] = i;
	}
	if(n > 1)
		top--;
}

\(\text{Graham}\) 扫描法

另外一种求凸包的方法，不需要求两次。

我们先按照所有点的纵坐标排序，那么纵坐标最小的那个点 \(P\) 一定在凸包上。

我们考虑在凸包上逆时针走，那么我们一定是不断地在左拐，也就是说，对于凸包上任意 \(3\) 个连续的点 \(P_1, P_2, P_3\)，都有 \(\overrightarrow{P_1 P_2} \times \overrightarrow{P_2 P_3} \geq 0\)。因此我们可以仿照 \(\text{Andrew}\) 算法的流程，拿一个栈来维护当前凸包上的点，然后按照当前点与 \(P\) 的极角大小从小到大尝试将每一个点加入凸包。如果新加入的点让凸包右拐了，那么我们就将栈顶弹出，直到满足条件或者栈内只有一个点。

洛谷 P2742 [USACO5.1] 圈奶牛Fencing the Cows /【模板】二维凸包

点击查看代码 
int n, sta[N], top;
void Convex_hull(){
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		if(sgn(p[i].y - p[1].y) < 0 || (sgn(p[i].y - p[1].y) == 0 && sgn(p[i].x - p[1].x) < 0))
	    	swap(p[1], p[i]);
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	    p[i].ang = atan2(p[i].y - p[1].y, p[i].x - p[1].x);
	sort(p + 2, p + n + 1, cmp);
	sta[++top] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
	    while(top >= 2 && sgn(Cross(p[sta[top]] - p[sta[top - 1]], p[i] - p[sta[top]])) < 0)
	      top--;
	    sta[++top] = i;
	}
}

闵可夫斯基和

闵可夫斯基和在信息学中主要用来合并两个凸包。

对于点集 \(A\) 和 \(B\)，定义它们的闵可夫斯基和 \(A + B = \{(X_A + X_B, Y_A + Y_B) | (X_A, Y_A) \in A, (X_B, Y_B) \in B\}\)，相当于 \(\boldsymbol x + \boldsymbol y\)。

现在告诉你点集 \(A\) 的和点集 \(B\)，需要求出点集 \(A + B\) 的凸包。

首先，新凸包上的点一定是原来的两个凸包上的点加出来的，因为原来不在凸包上的点在新图中也会被包进去，因此我们只用考虑 \(A\) 和 \(B\) 凸包上的点。

在这里，闵可夫斯基和有一个重要的性质，那就是如果点集 \(A\) 和点集 \(B\) 是凸集，那么 \(A + B\) 也是凸集。此时我们需要证明对于两个点 \(e, f \in A + B\)，\(e, f\) 之间的线段上的每个点都在 \(A + B\) 内。

于是我们设 \(e = a + c, f = b + d\)，\(a, b \in A\)，\(c, d \in B\)。根据平面向量的知识，我们知道 \(e, f\) 之间线段上的点可以表示成 \(te + (1 - t)f\)，\(t \in [0, 1]\)，推下式子，可以得到 \(te + (1 - t)f = t(a + c) + (1 - t)(b + d) = ta + (1 - t)b + [tc + (1 - t)d]\)，此时我们发现 \(ta + (1 - t)b\) 在 \(A\) 中，而 \(tc + (1 - t)d\) 在 \(B\) 中，因此 \(te + (1 - t)f\) 一定在 \(A + B\) 中，证明成立。

现在我们已经知道了 \(A + B\) 可以形成一个新的凸包，但是这个凸包的边和点我们还不知道，因此求不出周长与面积这些信息，因此我们还要确定这个凸包的点和边的信息。这里，闵可夫斯基和还有一个重要的性质，那就是如果点集 \(A\) 和点集 \(B\) 是凸集，那么 \(A + B\) 的边集是由凸集 \(A, B\) 的边集按极角排序后连接的结果。

现在我们来证明这个性质。首先我们旋转坐标轴使得凸集 \(A\) 或 \(B\) 中的一条边 \(XY\) 平行于 \(x\) 轴，假设是 \(A\)。再假设凸集 \(A\) 中所有边和凸集 \(B\) 中所有边的斜率都不一样，这样 \(B\) 中就只会有一个最低点 \(U\)。

考虑到闵可夫斯基和相当于向量加法，因此 \(A + B\) 中最低且最靠左的点 \(P\) 一定是由当前 \(A\) 中最低且最靠左的点加上 \(B\) 中最低且最靠左的点得到的，因此 \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OU}\)。同理，\(A + B\) 中最低且最靠右的点 \(Q\) 满足 \(\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OY} + \overrightarrow{OU}\)。

此时 \(A + B\) 中最低的边就是 \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OY} + \overrightarrow{OU} - \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OU} = \overrightarrow{XY}\)，此时我们发现 \(A + B\) 中的每一条边都是由 \(A\) 和 \(B\) 中每一条边平移而来，而我们不断旋转坐标系，相当于是将凸集 \(A, B\) 的边集按极角排序，这就证明了这个性质。

于是我们将 \(A\) 集合中的每条边 \(i\) 和 \(B\) 集合中的每条边 \(j\) 都用向量表示出来，再按照归并排序的思路将两个集合中的边 按极角合并起来。这里有一个小技巧，那就是我们不需要真正的求出极角，而只需要判断 \(\boldsymbol i \times \boldsymbol j\) 的符号即可。如果 \(\boldsymbol i \times \boldsymbol j \geq 0\)，那么 \(\boldsymbol i\) 就在 \(\boldsymbol j\) 的顺时针方向，此时 \(\boldsymbol i\) 的极角就比 \(\boldsymbol j\) 小，否则 \(\boldsymbol j\) 的极角就更小。

最后，我们再沿着每条边，求出每个点的坐标。注意此时点的坐标是无序的，还需要再做一遍求凸包的算法才能得到这个凸包。

点击查看代码 
vector <Point> Minkowski(vector <Point> &a, vector <Point> &b){
	int n = a.size(), m = b.size();
	vector <Point> c, tmp1, tmp2;
    c.resize(n + m + 1);
	c[0] = a[0] + b[0];
	tmp1.resize(n + 1);
	tmp2.resize(m + 1);
    for(int i = 1; i < n; i++)
		tmp1[i] = a[i] - a[i - 1];
	tmp1[n] = a[0] - a[n - 1];
    for(int i = 1; i < m; i++)
		tmp2[i] = b[i] - b[i - 1];
	tmp2[m] = b[0] - b[m - 1];
	int i = 1, j = 1, k = 0;
    while(i <= n && j <= m){
    	if(sgn(Cross(tmp1[i], tmp2[j])) >= 0)
			c[++k] = tmp1[i++];
		else
			c[++k] = tmp2[j++];
	}
    while(i <= n)
		c[++k] = tmp1[i++];
    while(j <= m)
		c[++k] = tmp2[j++];
	for(int i = 1; i <= k; i++)
		c[i] = c[i] + c[i - 1];
    return c;
}

动态凸包

动态加点

CF70D Professor's task

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动态删点

洛谷 P2521 [HAOI2011] 防线修建

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凸包在 DP 优化中的作用

经典例题

洛谷 P3829 [SHOI2012] 信用卡凸包

点击查看代码

洛谷 P4557 [JSOI2018] 战争

点击查看代码

旋转卡壳

这是一种求解凸包信息时常用的算法，通过名字就可以看出，它相当于是那两个尺子将凸包卡住，再不断的旋转来解决问题。

求凸包直径

洛谷 P1452 【模板】旋转卡壳 | [USACO03FALL] Beauty Contest G

首先，我们通过任意一种求凸包的算法将凸包求出。

接着，我们逆时针枚举每条边，找到离这条直线最远的点 \(x\)，然后取这条直线两个端点中离 \(x\) 更远的那个点来更新答案。注意到我们逆时针枚举每条边时，\(x\) 也会逆时针旋转，因此可以直接双指针。

具体的，如果我们求出了距离第 \(i\) 条直线最远的点 \(j\)，我们要求出距离第 \(i + 1\) 条直线最远的点，此时我们就判断一下 \(j\) 与第 \(i\) 条直线形成的三角形和 \(j + 1\) 与第 \(i\) 条直线形成的三角形大小，如果后者大就继续比较即可。

注意，我们需要在栈顶再次加入 \(1\) 号节点，使得可以计算 \(1\) 到 \(n\) 这条边。

点击查看代码 
void get_diameter(){
	if(top < 4) {
		ans = sqrdis(p[sta[1]], p[sta[2]]);
		return;
	}
	for(int i = 1, j = 3; i < top; i++){
	    while(area(sta[i], sta[i + 1], sta[j]) <= area(sta[i], sta[i + 1], sta[j % top + 1]))
	      	j = j % top + 1;
	    ans = max(ans, max(sqrdis(p[sta[i + 1]], p[sta[j]]), sqrdis(p[sta[i]], p[sta[j]])));
	}
}

最小矩形覆盖

洛谷 P3187 [HNOI2007] 最小矩形覆盖

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半平面交

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int n, m, cnt, st = 1, ed = 0;
vector <Line> l, l2, q;
vector <Point> p;
void Half_Plain_Intersection(){
	int n = l.size();
	sort(l.begin(), l.end());
	l2.push_back(l[0]);
	for(int i = 1; i < n; i++)
		if(sgn(ang(l[i].t - l[i].s) - ang(l[i - 1].t - l[i - 1].s)) != 0)
			l2.push_back(l[i]);
	n = l2.size();
	q.resize(n + 10);
	for(int i = 0; i < n; i++){
		while(st + 1 <= ed && !lft(Intersection(q[ed], q[ed - 1]), l2[i]))
			ed--;
		while(st + 1 <= ed && !lft(Intersection(q[st], q[st + 1]), l2[i]))
			st++;
		q[++ed] = l2[i];
	}
	while(st + 1 <= ed && !lft(Intersection(q[ed], q[ed - 1]), q[st]))
		ed--;
	q[++ed] = q[st];
	p.clear();
	for(int i = st; i < ed; i++)
		p.push_back(Intersection(q[i], q[i + 1]));
}

平面最近点对

圆相关问题

随机增量法

圆反演

参考资料

posted @ 2025-08-18 14:38  Orange_new  阅读(58)  评论(0)    收藏  举报