扩展域并查集

开始填坑力

引

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。带路径压缩的并查集的时间复杂度已被证明是 \(O(\alpha(n))\) 的。这个函数的值在当 \(n\) 实际有意义的范围内不会大于 \(4\)。

但是对于多组关系，普通的并查集就难以维护了。

这个时候就可以使用扩展域并查集。

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扩展域并查集

扩展域并查集常用来维护多组关系的集合合并问题，在实现上比带权并查集要简单一些 (个人觉得)。

主要思想

其实很简单，将一个点拆分成多个点，在不同的关系中使用，维护多个关系。

代码实现时，可以通过的对点的序号\(+\)点的总个数来实现拆点操作。

下面看例题：

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实际应用

NOIp提高组2010：关押罪犯

题目描述

\(S\) 城现有两座监狱，一共关押着 \(N\) 名罪犯，编号分别为\(1- N\)。

他们之间的关系自然也极不和谐。

很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。

我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。

如果两名怨气值为 \(c\) 的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为 \(c\) 的冲突事件。

每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到 \(S\) 城 \(Z\) 市长那里。

公务繁忙的 \(Z\) 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。

在详细考察了 \(N\) 名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。

他准备将罪犯们在两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。

假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。那么，应如何分配罪犯，才能使 \(Z\) 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？

输入格式

第一行为两个正整数 \(N\) 和 \(M\)，分别表示罪犯的数目以及存在仇恨的罪犯对数。

接下来的 \(M\) 行每行为三个正整数 \(a_j,b_j,c_j\) ，表示 \(a_j\) 号和 \(b_j\) 号罪犯之间存在仇恨，其怨气值为 \(c_j\) 。

数据保证 \(1≤aj<bj<N,0<cj≤1000000000\) 且每对罪犯组合只出现一次。

输出格式

输出共 \(1\) 行，为 \(Z\) 市长看到的那个冲突事件的影响力。

如果本年内监狱中未发生任何冲突事件，请输出 \(0\) 。

数据范围

\(N\leq 20000,M \leq 100000,\ 1≤aj<bj<N,\ 0<cj≤1000000000\)

样例

in:

4 6
1 4 2534
2 3 3512
1 2 28351
1 3 6618
2 4 1805
3 4 12884

out:

3512

例题解析：

题目求最大影响的最小值，由贪心我们可以可以知道，我们要尽量不让更大的冲突发生，考虑排序，先保证让大的冲突不发生。

若是只有一个监狱，那就直接使用一个普通并查集，维护就好。然而此题有两个监狱，一个人放在这个监狱，另一个人必定放在另外一个监狱里面。

我们可以考虑把第 \(i\) 个人拆成 \(i\) 和 \(i+1\)。一个维护友好的集合，一个维护对立的集合。每次查询一个关系，两人应该分别在两个集合中，若查询到两个人在同一集合，则这个事件无法避免的会发生。

放code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1000010;

struct iee
{
	int x,y;
	ll k;
} rela[N];
bool cmp(iee a,iee b)
{
	return a.k>b.k;
}

int n,m;
int parent[N];
void init();
int find(int x);
int union_(int x,int y);
int check(int x,int y);

int main()
{
	init();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%lld",&rela[i].x,&rela[i].y,&rela[i].k);
	sort(rela+1,rela+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(check(rela[i].x,rela[i].y))
		{
			cout<<rela[i].k;
			exit(0);//贪心，若在同一集合直接输出并退出
		}
		else
		{
			union_(rela[i].x+n,rela[i].y);
			union_(rela[i].x,rela[i].y+n);//扩展域并查集核心：x + n
		}
	}
	cout<<0;
	return 0;
}

void init()
{
	for(int i=0;i<N;i++)
		parent[i]=i;
}

int find(int x)
{
	int x_root=x;
	while(x_root!=parent[x_root])
	{
		x_root=parent[x_root];
	}
	while(x!=x_root)
	{
		int tmp=parent[x];
		parent[x]=x_root;
		x=tmp;
	}
	return x_root;
}

int union_(int x,int y)
{
	int x_root=find(x);
	int y_root=find(y);
	if(x_root==y_root) return 0;//合并失败
	parent[x_root]=y_root;
	return 1;
}

int check(int x,int y)
{
	return find(x)==find(y);
}

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