一维信号模糊熵（Fuzzy Entropy）计算原理与MATLAB实现

一、模糊熵的定义与核心思想

模糊熵（Fuzzy Entropy, Fe）是一种衡量时间序列复杂度的非线性动力学参数，由Chen等人于2007年提出，用于克服近似熵（Approximate Entropy, ApEn）中二值逻辑的局限性。其核心思想是：通过模糊隶属度函数描述向量间的相似性，而非近似熵的“0-1”硬阈值判断，使结果更平滑、抗噪性更强。

模糊熵的数学定义为：

对于长度为N的一维信号\(\{x(i)\}_{i=1}^N\)，嵌入维数m（通常取2），模糊指数n（通常取2），相似容限r（通常取0.1∼0.25×信号标准差\(σ\)），模糊熵计算如下：

1. 构造向量： 构造m维向量\(X_i^m=[x(i),x(i+1),...,x(i+m−1)]，i=1,2,...,N−m+1\)； 构造\(m+1\)维向量\(X_i^m+1=[x(i),x(i+1),...,x(i+m)]，i=1,2,...,N−m\)。

2. 距离计算：

   向量\(X_i^m\)与\(X_j^m\)的Chebyshev距离（最大绝对差）：

   

3. 模糊隶属度函数：

   用指数函数定义相似性度量（避免硬阈值）：

   

4. 熵值计算：

   定义平均隶属度：

   

   同理计算\(Φm+1(r)\)，则模糊熵：

   

二、MATLAB实现步骤与代码

1. 参数设置

• 嵌入维数：m=2（常用值，也可取3）
• 模糊指数：n=2（默认，控制隶属度衰减速度）
• 相似容限：r=0.2\(σ\)（\(σ\)为信号标准差，范围\(0.1σ∼0.25σ\)）

2. 完整MATLAB代码

function Fe = FuzzyEntropy(signal, m, n, r)
    % 模糊熵计算函数
    % 输入：
    %   signal: 一维信号（行/列向量均可）
    %   m: 嵌入维数（默认2）
    %   n: 模糊指数（默认2）
    %   r: 相似容限（默认0.2*std(signal)）
    % 输出：
    %   Fe: 模糊熵值
    
    % 参数默认值
    if nargin < 2, m = 2; end
    if nargin < 3, n = 2; end
    if nargin < 4, r = 0.2 * std(signal); end
    
    signal = signal(:)';  % 转为行向量
    N = length(signal);   % 信号长度
    if N < m+1, error('信号长度需大于嵌入维数m+1'); end
    
    % 步骤1：构造m维和m+1维向量
    Xm = zeros(N-m+1, m);   % m维向量矩阵
    Xm1 = zeros(N-m, m+1);  % m+1维向量矩阵
    for i = 1:N-m+1
        Xm(i,:) = signal(i:i+m-1);
    end
    for i = 1:N-m
        Xm1(i,:) = signal(i:i+m);
    end
    
    % 步骤2：计算距离矩阵（Chebyshev距离）
    Dm = pdist2(Xm, Xm, 'chebychev');  % m维向量间距离（N-m+1 × N-m+1）
    Dm1 = pdist2(Xm1, Xm1, 'chebychev'); % m+1维向量间距离（N-m × N-m）
    
    % 步骤3：计算模糊隶属度矩阵（排除对角线元素i=j）
    [rows, cols] = size(Dm);
    Mu_m = zeros(rows, cols);
    for i = 1:rows
        for j = 1:cols
            if i ~= j  % 排除自身距离
                Mu_m(i,j) = exp(-(Dm(i,j)^n)/r);
            end
        end
    end
    
    [rows1, cols1] = size(Dm1);
    Mu_m1 = zeros(rows1, cols1);
    for i = 1:rows1
        for j = 1:cols1
            if i ~= j
                Mu_m1(i,j) = exp(-(Dm1(i,j)^n)/r);
            end
        end
    end
    
    % 步骤4：计算平均隶属度Φ^m和Φ^(m+1)
    sum_Mu_m = sum(sum(Mu_m))/( (N-m+1)*(N-m) );  % 排除对角线的有效元素数：(N-m+1)(N-m)
    sum_Mu_m1 = sum(sum(Mu_m1))/( (N-m)*(N-m-1) );
    Phi_m = sum_Mu_m;
    Phi_m1 = sum_Mu_m1;
    
    % 步骤5：计算模糊熵
    if Phi_m == 0 || Phi_m1 == 0
        Fe = NaN;  % 避免对数运算错误
    else
        Fe = log(Phi_m) - log(Phi_m1);
    end
end

3. 示例：计算正弦信号的模糊熵

% 生成测试信号（正弦波+噪声）
fs = 1000;          % 采样频率
t = 0:1/fs:1-1/fs;  % 时间轴（1秒）
f = 50;             % 正弦波频率50Hz
signal = sin(2*pi*f*t) + 0.5*randn(size(t));  % 含噪正弦信号

% 计算模糊熵（默认参数：m=2, n=2, r=0.2*std(signal)）
Fe = FuzzyEntropy(signal);
fprintf('模糊熵值：%.4f\n', Fe);  % 输出示例：~0.52（取决于噪声强度）

% 对比：无噪声正弦信号的模糊熵（更低，复杂度更小）
signal_clean = sin(2*pi*f*t);
Fe_clean = FuzzyEntropy(signal_clean);
fprintf('无噪声正弦信号模糊熵：%.4f\n', Fe_clean);  % 输出示例：~0.21

三、关键参数影响与优化

参数	作用	推荐取值	敏感性分析
嵌入维数m	控制向量复杂度（m越大，复杂度越高）	2~3（常用2）	m=2时计算快，m=3时区分度高
模糊指数n	控制隶属度衰减速度（n越大，相似性判断越严格）	2（默认）	n=1时接近近似熵，n=3时抗噪性增强
相似容限r	决定向量相似性阈值（r越大，相似性越高）	0.1σ~0.25σ（σ为信号标准差）	r=0.1σ时敏感，r=0.25σ时稳健

参考代码 求取一维信号的模糊熵 www.youwenfan.com/contentcnn/84610.html

四、工程应用场景

1. 生理信号分析：EEG/ECG信号复杂度评估（如癫痫发作期熵值升高）
2. 机械故障诊断：轴承/齿轮振动信号复杂度变化（故障时熵值增大）
3. 金融时间序列：股价波动复杂度量化（混沌态熵值更高）

五、注意事项

1. 信号长度：需满足N>2m+1（否则向量数量不足，计算结果不稳定）。
2. 噪声鲁棒性：模糊熵优于近似熵，建议对强噪声信号先去噪（如小波阈值去噪）。
3. 计算效率：向量距离计算可采用并行优化（如MATLAB parfor），提升长信号处理速度。