树形背包上下界优化复杂度证明

众所周知，一般的树形背包复杂度为 \(O(n^2)\)，而限制背包上界为 \(k\) 的树形背包复杂度为 \(O(nk)\)。下面给出证明。

对于一般树形背包复杂度为 \(O(n^2)\) 的证明

考虑每个点对只会在 lca 处被统计一次，复杂度显然为 \(O(n^2)\)。

对于限定上界为 \(k\) 树形背包复杂度为 \(O(nk)\) 的证明

考虑每个点 \(x\) 向上合并的过程，在 \(x\) 所在集合大小没超过 \(k\) 之前，显然最多统计 \(O(k)\) 次，对于所有点则是 \(O(nk)\) 次；在集合大小超过 \(k\) 之后，每次加入一个点必然会永久弹出一个点，并付出 \(O(k)\) 的额外代价，而由于每个点最多被弹出一次，额外代价也最多是 \(O(nk)\) 的，所以总复杂度显然为 \(O(nk)\)。