数论专题-中国剩余定理

本篇博客是【数论专题】系列的第 \(9\) 篇，希望大家多多支持。

中国剩余定理用来求解以下同余方程组：

\[\begin{cases} x\equiv a_1&\pmod {b_1}\\ x\equiv a_2&\pmod {b_2}\\ \dots\\ x\equiv a_n&\pmod {b_n} \end{cases} \]

其中 \(b_i\) 两两互质。

根据余数的可加性，只有求出以下 \(n\) 个方程组的解，则可以求出原方程的解：

\[\begin{cases} x_1\equiv a_1&\pmod {b_1}\\ x_1\equiv 0&\pmod {b_2}\\ \dots\\ x_1\equiv 0&\pmod {b_n} \end{cases} \begin{cases} x_2\equiv 0&\pmod {b_1}\\ x_2\equiv a_2&\pmod {b_2}\\ \dots\\ x_2\equiv 0&\pmod {b_n} \end{cases} \dots \begin{cases} x_n\equiv 0&\pmod {b_1}\\ x_n\equiv 0&\pmod {b_2}\\ \dots\\ x_n\equiv a_n&\pmod {b_n} \end{cases} \]

原方程解 \(x = \sum^{n}_{i = 1} x_i\)。

设当前求解的方程组为第 \(c\) 个：

\[\begin{cases} x_c\equiv 0&\pmod {b_1}\\ x_c\equiv 0&\pmod {b_2}\\ \dots\\ x_c\equiv a_c&\pmod {b_c}\\ \dots\\ x_c\equiv 0&\pmod {b_n} \end{cases} \]

将上方程组转化为：

\[\begin{cases} y_c\equiv 0&\pmod {b_1}\\ y_c\equiv 0&\pmod {b_2}\\ \dots\\ y_c\equiv 1&\pmod {b_c}\\ \dots\\ y_c\equiv 0&\pmod {b_n} \end{cases} \]

那么，\(x_c = y_c\times a_c\)。

由于 \(b_i\) 两两互质，可得 \(y_c\bmod\ \frac{\prod_{i = 1}^{n} b_i}{b_c} = 0\)。设 \(\frac{\prod_{i = 1}^{n} b_i}{b_c}\) 为 \(l_c\)，则 \(b_c = l_c\times w_c\)。

根据以上方程组，可知 \(l_c\times w_c\equiv 1\pmod {b_c}\)，显然 \(w_c\) 就是 \(l_c\) 的逆元，直接使用扩展欧几里得算法求就行了。

方程解 \(x = \sum_{i = 1}^{n} a_c\times l_c\times l_c^{-1}\)。

由于需要求的是方程的最小正整数解，需要累加 \(\prod_{i = 1}^{n} a_i\) 并取模。

void exgcd(int a, int b)//扩展欧几里得算法模板
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b);
	int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - a / b * y;
}
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
	int qwq = cj / a[i];//cj 为所有数的乘积，qwq 即为 l_c
	exgcd(qwq, a[i]);//求出逆元
	ans = (ans + qwq * b[i] * x) % cj;//ans 为最终答案
}
cout << (ans + cj) % cj;//转化成最小正整数解