数论专题-欧拉定理与费马小定理

本篇博客是【数论专题】系列的第 \(5\) 篇，希望大家多多支持。

欧拉定理

若正整数 \(a, n\) 互质，则：

\[a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n \]

其中 \(\varphi(n)\) 为欧拉函数，表示 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

证明

设 \(x_1,x_2,\dots,x_{\varphi(n)}\) 为 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数。

这时，我们发现 \(a\times x_1, a\times x_2, \dots, a\times x_{\varphi(n)}\) 具有这个性质：每个数 \(\bmod\ n\) 两两不同，且余数与 \(n\) 互质。而且，\(x_1, x_2, \dots, x_{\varphi(n)}\) 也具有这个性质。

有了这个性质，将 \(a\times x_1, a\times x_2, \dots, a\times x_{\varphi(n)}\) 都 \(\bmod\ n\) 后一定是 \(\varphi(n)\) 个不同的与 \(n\) 互质的数，那么：

\[x_1\times x_2\times \dots\times x_{\varphi(n)}\equiv a\times x_1\times a\times x_2\times \dots\times a\times x_{\varphi(n)}\pmod n\\ \]

\[1\equiv a^{\varphi(n)}\pmod n \]

费马小定理

若整数 \(p\) 为质数且 \(p\) 与整数 \(a\) 互质，则满足：

\[a^{p - 1}\equiv 1\pmod p \]

证明

因为 \(p\) 是质数，那么 \(\varphi(p) = p - 1\)，这时就转化成了欧拉定理的一种情况，由于满足欧拉定理，费马小定理一定成立。