数论专题-最大公约数

本篇博客是【数论专题】系列的第 \(4\) 篇，希望大家多多支持。

最大公约数指两个整数 \(a,b\) 公有的因数中最大的数，记作 \(\gcd(a,b)\)。

辗转相除法

辗转相除法用来求两个数的最大公约数，又称欧几里得算法，其核心为：\(\gcd(x,y) = \gcd(y, x\bmod\ y)\)。

证明：

• 若 \(x < y\)，则 \(\gcd(y, x\bmod\ y) = \gcd(y, x) = \gcd(x,y)\)。
• 若 \(x\ge y\)，设 \(x = q\times y + r\)，其中 \(0\le r < y\)，显然 \(r = x\bmod\ y\)。对于 \(x,y\) 的任意公约数 \(d\)，因为 \(d\mid x,d\mid q\times y\)，所以 \(d\mid (x - q\times y)\)，即为 \(d\mid r\)，因此 \(d\) 为 \(y, r\) 的公约数。

辗转相除法的流程如下：

• 若 \(y = 0\)，则说明答案为 \(x\)。
• 若 \(y\ne 0\)，则根据 \(\gcd(x, y) = \gcd(y, x\bmod\ y)\) 往下递归。

时间复杂度 \(O(\log \max(x,y))\)。

int gcd(int x, int y)
{
	if(y == 0) return x;//y = 0 则返回答案 
	return gcd(y, x % y);//否则继续递归 
}

最小公倍数

最小公倍数指两个整数 \(a,b\) 公有的倍数中最小的数，记作 \(\text{lcm}(a,b)\)。

定理：\(x\times y = \gcd(x, y) \times \text{lcm}(x, y)\)。

根据以上定理，可以得出 \(\text{lcm}(x, y) = x\times y\div \gcd(x, y)\)。

用辗转相除法求出 \(\gcd(x, y)\) 然后直接计算就行了，时间复杂度与辗转相除法一样。

int gcd(int x, int y)
{
	if(y == 0) return x;
	return gcd(y, x % y);
}
int lcm(int x, int y)
{
	return x * y / gcd(x, y);
}