数论专题-整除与同余

本篇博客是【数论专题】系列的第 \(3\) 篇，希望大家多多支持。

整除

设 \(a\) 是非零整数，\(b\) 是整数。若存在一个整数 \(x\)，使得 \(b = a\times x\)，那么称 \(b\) 可被 \(a\) 整除 或 \(a\) 可以整除 \(b\)，记作 $ a\mid b$，也可以说 \(b\) 是 \(a\) 的倍数或 \(a\) 是 \(b\) 的因数。例如 \(2 \mid 6,4\mid 8\)。

整除具有以下性质：

• 性质 \(1\)：如果 \(a\mid b\) 并且 \(b\mid c\)，那么 \(a\mid c\)
• 性质 \(2\)：\(a\mid b\) 并且 \(b\mid c\) 等价于 \(a\mid (b\times x + c\times y)\)
• 性质 \(3\)：设 \(m\ne 0\)，那么 \(a\mid b\) 等价于 \((m\times a)\mid (m\times b)\)
• 性质 \(4\)：设整数 \(x\) 和 \(y\) 满足 \(a\times x + b\times y = 1\)，且 \(a\mid n,b\mid n\)，那么 \(a\times b\mid n\)
  • 证明：
    • 根据性质 \(3\) 可得 \(a\times b\mid b\times n\) 且 \(a\times b\mid a\times n\)
    • 再根据性质 \(2\) 可得 \(a\times b\mid a\times n\times x + b\times n\times y\)
    • 其中 \(a\times n\times x + b\times n\times y = n\times(a\times x + b\times y) = n\times 1 = n\)，所以 \(a\times b\mid n\)
• 性质 \(5\)：若 \(b = q\times d + c\)，那么 \(d\mid b\) 的充要条件是 \(d\mid c\)

同余

若 \(a,b\) 为两个整数，且他们的差 \(a - b\) 能被某个自然数 \(p\) 整除，则称 \(a\) 和 \(b\) 关于模 \(p\) 同余，记作 \(a\equiv b \pmod p\)，意味着 \(a - b = p \times k\)（\(k\) 为某个整数）。例如 \(36\equiv 1 \pmod 5\)，此时 \(36 - 1 = 35 = 5\times 7\)。

对于整数 \(a,b,c\) 和自然数 \(n,m\)，对模 \(m\) 同余具有以下性质：

• 自反性：\(a\equiv a \pmod m\)
• 对称性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，则 \(b\equiv a \pmod m\)
• 传递性：若 \(a\equiv b \pmod m,b\equiv c \pmod m\)，则 \(a\equiv c \pmod m\)
• 同加性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，则 \(a + n\equiv b + n \pmod m\)
• 同乘性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，则 \(a \times n\equiv b \times n \pmod m\)。若 \(a\equiv b \pmod m,c\equiv d \pmod m\)，则 \(a\times c\equiv b\times d \pmod m\)
• 同幂性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，则 \(a^n \equiv b^n \pmod m\)

要注意的是，同余不满足同除性，即不满足 \(a\div n\equiv b\div n \pmod m\)。