阶梯博弈

博弈论与组合计数知识清单（含数位DP扩展）

本源码使用 $...$ 行内公式和 $$...$$ 块级公式，无 \(、\)、\[、\] 转义，可在 Typora、GitHub、Obsidian 等支持 LaTeX 的 Markdown 编辑器中正常渲染。

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1. 阶梯博弈归约证明

定理：阶梯博弈胜负由奇数级台阶石子数的异或和决定。

证明：
设 \(S_{odd} = a_1 \oplus a_3 \oplus a_5 \oplus \dots\)。

若 \(S_{odd} = 0\)，则对手移动奇数级会破坏异或和，你可在奇数级上按 Nim 策略恢复；对手移动偶数级，你只需将相同数量的石子继续下移，恢复奇数级异或和。最终你必走最后一步，故为必败态。

若 \(S_{odd} \neq 0\)，你可按普通 Nim 策略移动某一奇数级，使新异或和为 0，将必败态交给对手。故为必胜态。

\[\square \]

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2. 普通 Nim 必胜走法计数

给定 \(n\) 堆 \(a_i\)，总异或和 \(S = a_1 \oplus \dots \oplus a_n\)。

若 \(S=0\)，必胜走法数为 0。
若 \(S \neq 0\)，必胜走法数为满足 \((a_i \oplus S) < a_i\) 的堆数。

快速法：取 \(S\) 的最高位，统计该位为 1 的堆数。

\[\square \]

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3. 异或和为 0 的静态构造

必要条件：总石子数 \(n\) 必须为偶数。

允许空容器：\([\frac{n}{2}, \frac{n}{2}, 0, \dots]\)

要求非空：\(m\) 为偶数且 \(n \ge m\)，配对等量。

\[\square \]

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4. P 状态方案数 \(D_k(n)\) 递推

定义：\(D_k(n)\) 表示将 \(2n\) 个石子放入 \(k\) 个有标号容器，异或和为 0 的方案数。

核心变换：从每个奇数堆拿走 1 个石子，再将所有数除以 2。此变换为双射。

递推式：

当 \(i = 2x+1\)（奇数）：

\[D_k(2x+1) = \sum_{j=0}^{\lfloor k/4 \rfloor} \binom{k}{4j+2} \cdot D_k(x-j) \]

当 \(i = 2x+2\)（偶数）：

\[D_k(2x+2) = D_k(x+1) + \sum_{j=1}^{\lfloor k/4 \rfloor} \binom{k}{4j} \cdot D_k(x+1-j) \]

（此处为加法，非减法）

\[\square \]

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5. 插板法（隔板法）

将 \(N\) 个相同球放入 \(M\) 个有标号盒子（允许空）：

\[\binom{N+M-1}{M-1} \]

若要求每个盒子至少 1 个：

\[\binom{N-1}{M-1} \quad (N \ge M) \]

\[\square \]

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6. 洛谷 P5363 映射

棋盘长 \(N\)，金币数 \(m\)，空格数 \(n = N-m\)。

金币产生 \(m+1\) 个空隙，编号 \(0\) 到 \(m\)。空隙 0 为地面，不参与博弈。台阶为 \(1\) 到 \(m\)。

有效堆（奇数台阶）数：

\[k = \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil = \frac{m+1}{2} \]

无效堆（偶数台阶）数：

\[k_2 = m - k \]

注意：不是 \((m+1)-k\)，勿将地面计入。

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7. 答案计算

总方案数：

\[\text{Total} = \binom{N}{m} \]

必败态计数：

\[\text{lose} = \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} D_k(i) \times \binom{n - 2i + k_2 - 1}{k_2 - 1} \]

当 \(k_2 = 0\) 时，仅当 \(n - 2i = 0\) 时该项贡献 \(D_k(i)\)，其余为 0。

答案：

\[\text{Ans} = \text{Total} - \text{lose} \]

\[\square \]

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8. 数位 DP 扩展（补充）

数位 DP 可逐位统计“将 \(N\) 个石子放入 \(M\) 个容器，异或和为 0”的方案数。

设 dp[pos][carry] 处理到第 \(pos\) 位，进位为 carry。枚举当前位放 1 的个数 \(c\)（\(c\) 必须为偶数），满足：

\[c \times 2^{pos} + carry \equiv N_{pos} \pmod{2^{pos+1}} \]

转移时乘以 \(\binom{M}{c}\)。

最终 dp[L][0] 即为答案，其中 \(L\) 取足够大的位数。

\[\square \]

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结束。 本清单已包含全部核心证明和扩展，所有公式均可正常渲染。