计算几何基础笔记

二维向量几何与半平面交 · 完整知识清单

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第一部分：基本对象与标量性质

• 点：\(A(x_1, y_1)\)，表示空间中的位置。
• 向量：\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，表示位移或有向线段。
• 核心性质：\(x_1\) 和 \(y_1\) 均为标量（实数）。无论是点的坐标还是向量的分量，它们都遵循普通的加减乘除运算。

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第二部分：点与向量的基本运算（含运算数类型与结果类型）

2.1 点与点相减（得向量）

• 运算数类型：点 - 点
• 结果类型：向量
• 运算法则：起点 \(A(x_1, y_1)\)，终点 \(B(x_2, y_2)\)，对应坐标相减：
  \[\vec{AB} = B - A = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) \]

• 顺序性：\(\vec{AB} = -\vec{BA}\)（反交换）。

2.2 点与向量相加（得新点）

• 运算数类型：点 + 向量
• 结果类型：点
• 运算法则：点 \(P(x, y)\) 沿向量 \(\vec{v} = (m, n)\) 平移：
  \[P + \vec{v} = (x + m,\ y + n) \]

• 注：点加点是未定义操作，向量加向量仍是向量。

2.3 向量的模长

• 运算数类型：向量
• 结果类型：标量（实数）
• 运算法则：
  \[|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]

2.4 向量的数乘（标量乘法）

• 运算数类型：标量（实数） × 向量
• 结果类型：向量
• 运算法则：实数 \(k\) 与向量 \(\vec{a} = (x, y)\) 相乘：
  \[k \cdot \vec{a} = (k \cdot x,\ k \cdot y) \]

• 几何意义：\(|k| > 1\) 拉伸，\(0 < |k| < 1\) 压缩，\(k < 0\) 反向。
• 与点乘的区别：数乘是标量 × 向量 → 向量；点乘是向量 · 向量 → 标量。

2.5 向量加法与减法

• 运算数类型：向量 ± 向量
• 结果类型：向量
• 运算法则：
  • 加法：\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2)\)（平行四边形法则）
  • 减法：\(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2)\)

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第三部分：二维向量乘法（点积与叉积）（含运算数类型与结果类型）

3.1 点积（内积）—— 判定"方向是否一致"

• 运算数类型：向量 · 向量
• 结果类型：标量（实数）
• 代数定义：设 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)：
  \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]

• 几何定义：
  \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta \]
  （\(\theta\) 为两向量夹角）
• 符号几何意义：
  • \(> 0\)：夹角为锐角（方向大体一致，投影同向）。
  • \(= 0\)：夹角为直角（两向量垂直）。
  • \(< 0\)：夹角为钝角（方向大体相反，投影反向）。
• 运算定律：
  • 交换律：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
  • 分配律：\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
  • 数乘结合律：\((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)

3.2 二维叉积（外积）—— 判定"旋转方向"与"面积"

• 运算数类型：向量 × 向量
• 结果类型：标量（实数）
• 代数定义：设 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)：
  \[\vec{a} \times \vec{b} = x_1 y_2 - y_1 x_2 \]
  注：此处的乘法如 \(x_1 \cdot y_2\) 代表普通标量乘法。
• 几何定义：
  \[\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\theta \]
  （\(\theta\) 为从 \(\vec{a}\) 转向 \(\vec{b}\) 的有向夹角）
• 核心几何意义：
  • 绝对值：\(|\vec{a} \times \vec{b}|\) 等于以 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 为邻边的平行四边形面积。
    推导依据：高 \(h = |\vec{b}|\sin\theta\)，面积 \(S = |\vec{a}| \cdot h\)。
  • 符号（方向判定）：
    • \(> 0\)：\(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 的逆时针方向（即左侧）（\(0 < \theta < \pi\)）。
    • \(< 0\)：\(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 的顺时针方向（即右侧）（\(\sin\theta < 0\)，即 \(\pi < \theta < 2\pi\)）。
    • \(= 0\)：两向量共线（平行）（\(\theta = 0\) 或 \(\theta = \pi\)）。
• 运算定律：
  • 反交换律：
    \[\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) \]

  • 数乘结合律：
    \[(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b}) \]

  • 零向量（自叉积）：
    \[\vec{a} \times \vec{a} = 0 \]

• 核心恒等式证明（代数 \(\Leftrightarrow\) 几何）：
  设 \(\vec{a} = (|a|\cos\alpha, |a|\sin\alpha)\)，\(\vec{b} = (|b|\cos\beta, |b|\sin\beta)\)，其中 \(\theta = \beta - \alpha\)，则：
  \[\begin{aligned} x_1 y_2 - x_2 y_1 &= |a||b|(\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta) \\ &= |a||b|\sin(\beta - \alpha) \\ &= |a||b|\sin\theta \end{aligned} \]

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第四部分：直线的法向量与方向向量（含严格证明）

概念	定义	二维求法（互转）	判定依据
方向向量 \(\vec{v}\)	与直线平行的非零向量	若已知法向量 \(\vec{n}=(A,B)\)，则 \(\vec{v}=(B,-A)\)	共线（叉积为 0）
法向量 \(\vec{n}\)	与直线垂直的非零向量	若已知方向向量 \(\vec{v}=(m,n)\)，则 \(\vec{n}=(-n,m)\)	垂直（点积为 0）

• 方向向量不唯一：若 \(\vec{v}\) 是方向向量，则 \(k\vec{v}\)（\(k \neq 0\)）也是，反向也算平行。

本部分关键结论：对于直线 \(Ax+By+C=0\)，其法向量为 \(\vec{n}=(A,B)\)，方向向量为 \(\vec{v}=(B,-A)\)。下面给出严格证明。

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4.1 证明：\(\vec{n} = (A, B)\) 是直线 \(Ax+By+C=0\) 的法向量

证明：

1. 在直线上任取两个不同的点 \(P_1(x_1, y_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2)\)。
2. 因为两点都在直线上，所以它们满足直线方程：
   \[Ax_1 + By_1 + C = 0 \tag{1} \]
   \[Ax_2 + By_2 + C = 0 \tag{2} \]

3. 用 (2) 式减去 (1) 式，得到：
   \[A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) = 0 \]

4. 观察上式左边，它正好是向量 \((A, B)\) 与向量 \((x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)\) 的点积：
   \[(A, B) \cdot (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) = 0 \]

5. 根据你的知识清单第三部分 3.1（点积符号几何意义），两个非零向量的点积为 0，说明它们互相垂直。
6. 而 \((x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) = \overrightarrow{P_1P_2}\) 正是直线的方向向量（由两点相减得到）。
7. 因此，\((A, B)\) 垂直于直线的方向向量，即垂直于直线本身。由法向量定义可知，\(\vec{n} = (A, B)\) 是直线的法向量。\(\square\)

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4.2 证明：\(\vec{v} = (B, -A)\) 是直线 \(Ax+By+C=0\) 的方向向量

证明（利用已证明的 4.1）：

1. 由 4.1 已知 \(\vec{n} = (A, B)\) 是直线的法向量。
2. 计算 \(\vec{n}\) 与 \(\vec{v} = (B, -A)\) 的点积：
   \[\vec{n} \cdot \vec{v} = A \cdot B + B \cdot (-A) = AB - AB = 0 \]

3. 由于 \(\vec{n}\) 与 \(\vec{v}\) 的点积为 0，说明 \(\vec{v}\) 与法向量 \(\vec{n}\) 互相垂直。
4. 在二维平面中，垂直于法向量的非零向量，必然与直线平行（或落在直线上）。
5. 因此，\(\vec{v} = (B, -A)\) 是直线的方向向量。\(\square\)

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第五部分：直线表示方法（解析法与向量法）

5.1 向量法（通用，无死角）

方法	公式	核心要素
参数式（点向式）	\(P(t) = p + t \cdot \vec{v}\)	\(p\) 为定点，\(\vec{v}\) 为方向向量，\(t \in \mathbb{R}\)
两点式（向量形式）	\(P(t) = P_1 + t \cdot (P_2 - P_1)\)	由直线上两点 \(P_1, P_2\) 确定
点法式	\(\vec{n} \cdot (P - P_0) = 0\)	\(\vec{n}\) 为法向量，利用垂直（点积为 0）

5.2 解析法（依赖斜率，有盲区）

方法	公式	局限性
点斜式	\(y - y_0 = k(x - x_0)\)	不能表示竖直线（\(k\) 不存在）
斜截式	\(y = kx + b\)	不能表示竖直线
两点式	\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)	分母不能为 0
截距式	\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)	不能表示过原点或平行于轴的直线

5.3 终极通用式（一般式）

\[Ax + By + C = 0 \quad (A, B \text{ 不同时为 } 0) \]

• 从一般式直接读取：
  • 法向量：\(\vec{n} = (A, B)\)
  • 方向向量：\(\vec{v} = (B, -A)\) 或 \((-B, A)\)
  • 斜率：\(k = -\frac{A}{B}\)（当 \(B \neq 0\) 时）

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第六部分：直线与线段求交点（全面覆盖所有表示法）

6.1 一般式 \(L_1: A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(L_2: A_2x+B_2y+C_2=0\)

解法（克莱姆法则）：

令行列式：

\[D = A_1B_2 - A_2B_1 \]

• 若 \(D = 0\)：两直线平行或重合（无唯一交点）。
• 若 \(D \neq 0\)：唯一交点坐标为：
  \[x = \frac{B_1C_2 - B_2C_1}{D}, \qquad y = \frac{A_2C_1 - A_1C_2}{D} \]

6.2 参数式（点向式）\(L_1: P = P_1 + t\vec{v}_1\)，\(L_2: P = P_2 + s\vec{v}_2\)

解法（叉积法）：

令 \(\vec{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y})\)，\(\vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y})\)。

若 \(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = 0\)，则两直线平行或重合。

否则，参数 \(t\) 为：

\[t = \frac{(P_2 - P_1) \times \vec{v}_2}{\vec{v}_1 \times \vec{v}_2} \]

将 \(t\) 代入 \(L_1\) 即得交点：\(P = P_1 + t\vec{v}_1\)。

本质推导：令 \(P_1 + t\vec{v}_1 = P_2 + s\vec{v}_2\)，移项后两边同时叉乘 \(\vec{v}_2\) 消去 \(s\)，即得公式。

6.3 斜截式 \(L_1: y = k_1x + b_1\)，\(L_2: y = k_2x + b_2\)

解法（解析法）：

• 若 \(k_1 = k_2\)，则平行或重合。
• 否则：
  \[x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}, \qquad y = k_1x + b_1 \]

6.4 点斜式 \(y - y_{01} = k_1(x - x_{01})\) 与 \(y - y_{02} = k_2(x - x_{02})\)

解法：将点斜式展开为斜截式 \(y = k_1x + (y_{01} - k_1x_{01})\)，代入 6.3 公式求解。

6.5 截距式 \(\frac{x}{a_1} + \frac{y}{b_1} = 1\) 与 \(\frac{x}{a_2} + \frac{y}{b_2} = 1\)

解法：化为一般式 \(b_1x + a_1y - a_1b_1 = 0\)，代入 6.1 公式求解。

6.6 混合形式（如一般式与参数式）

解法（代入法）：

将参数式 \(P(t) = (x_0 + tv_x,\ y_0 + tv_y)\) 代入一般式 \(Ax + By + C = 0\)：

\[A(x_0 + tv_x) + B(y_0 + tv_y) + C = 0 \]

解出 \(t\)：

\[t = -\frac{Ax_0 + By_0 + C}{Av_x + Bv_y} \]

（若分母为 0，则直线平行或直线含于半平面）

代入参数式即得交点。

6.7 线段与线段相交判定与求交点

第一步（快速排斥）：两线段的外接矩形必须相交，否则必不相交。

第二步（跨立实验）：线段 \(AB\) 与 \(CD\) 相交的充要条件是 \(A,B\) 分别位于 \(CD\) 两侧，且 \(C,D\) 分别位于 \(AB\) 两侧：

\[((C - A) \times (B - A)) \cdot ((D - A) \times (B - A)) \le 0 \]

且：

\[((A - C) \times (D - C)) \cdot ((B - C) \times (D - C)) \le 0 \]

（包含端点接触，若严格相交则取 \(<\)）

第三步（求交点）：若判定相交，则将其视为两条直线（参数式 \(L_1: A + t(B-A)\)，\(L_2: C + s(D-C)\)），代入 6.2 公式求得交点，此时 \(t, s \in [0, 1]\) 自动满足。

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第七部分：半平面与向量判定的桥梁

本部分严格证明三个核心结论：法向量指向正半平面、左侧等价于正半平面，以及法向量与方向向量的相对方位。这些结论是半平面交算法将“代数不等式”转化为“几何左右判定”的理论基石。

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7.1 法向量指向正半平面（严格证明）

定理：对于直线 \(L: Ax+By+C=0\)，其法向量 \(\vec{n} = (A, B)\) 精确地指向满足 \(Ax+By+C > 0\) 的一侧（称为正半平面）。

证明：

1. 取基准点：在直线 \(L\) 上任取一点 \(P_0(x_0, y_0)\)。由于 \(P_0\) 在直线上，满足：

   \[Ax_0 + By_0 + C = 0 \quad \Longrightarrow \quad C = -(Ax_0 + By_0) \]

2. 考察任意点：对于平面内任意一点 \(P(x, y)\)，考虑从 \(P_0\) 指向 \(P\) 的向量 \(\overrightarrow{P_0P} = (x - x_0,\ y - y_0)\)。

3. 计算法向量与方向向量的点积：

   \[\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = A(x - x_0) + B(y - y_0) = Ax + By - (Ax_0 + By_0) \]

4. 代入 \(C\) 的关系：将第 1 步的 \(C = -(Ax_0 + By_0)\) 代入上式，得到：

   \[\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = Ax + By + C \]

5. 结合点积的几何意义（知识清单 3.1）：

   • 若 \(Ax + By + C > 0\)，则 \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} > 0\)，即 \(\vec{n}\) 与 \(\overrightarrow{P_0P}\) 的夹角为锐角。这说明 \(P\) 位于 \(\vec{n}\) 所指的前方一侧。
   • 若 \(Ax + By + C < 0\)，则夹角为钝角，说明 \(P\) 位于 \(\vec{n}\) 所指的反方向一侧。
   • 若 \(Ax + By + C = 0\)，则 \(P\) 恰好在直线 \(L\) 上。

结论：法向量 \(\vec{n} = (A, B)\) 永远指向满足不等式 \(>0\) 的正半平面。\(\square\)

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7.2 左半平面与正半平面的统一关系（核心桥梁）

定理：对于直线 \(L: Ax+By+C=0\)，取方向向量 \(\vec{v} = (B, -A)\)（即第 4.2 节证明的方向向量），直线上任取一点 \(P_0\)。则对于平面上任意一点 \(Q\)，以下两个命题完全等价：

\[\boxed{Q \text{ 在 } \vec{v} \text{ 的左侧}} \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{Q \text{ 在正半平面 } (Ax+By+C > 0)} \]

证明：

1. 计算叉积：设 \(P_0 = (x_0, y_0)\)，\(Q = (x, y)\)，则：

   \[\vec{v} \times (Q - P_0) = B(y - y_0) - (-A)(x - x_0) = Ax + By - (Ax_0 + By_0) \]

2. 代入 \(C\) 的关系：由 7.1 节已知 \(C = -(Ax_0 + By_0)\)，因此：

   \[\vec{v} \times (Q - P_0) = Ax + By + C \]

3. 根据叉积符号的几何意义（知识清单 3.2）：

   • 若 \(\vec{v} \times (Q - P_0) > 0\)，则 \(Q\) 在 \(\vec{v}\) 的左侧，同时对应 \(Ax + By + C > 0\)（正半平面）。
   • 若 \(\vec{v} \times (Q - P_0) < 0\)，则 \(Q\) 在 \(\vec{v}\) 的右侧，同时对应 \(Ax + By + C < 0\)（负半平面）。
   • 若等式为 0，则 \(Q\) 在直线上。

结论：通过选取方向向量为 \((B, -A)\)，“点在方向向量左侧” 与 “点满足原始不等式” 完全等价。这使得算法在代码中只需单纯维护“左侧”即可，无需额外计算法向量方向。\(\square\)

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7.3 法向量与方向向量的方位关系（直观验证）

为了验证 7.2 节中方向向量取 \((B, -A)\) 的合理性，本小节确认法向量确实位于方向向量的左侧。

命题：方向向量 \(\vec{v} = (B, -A)\) 的左侧，恰好是法向量 \(\vec{n} = (A, B)\) 所指的方向。

证明：计算 \(\vec{v}\) 与 \(\vec{n}\) 的叉积：

\[\vec{v} \times \vec{n} = B \cdot B - (-A) \cdot A = A^2 + B^2 \]

由于 \(A\) 和 \(B\) 不同时为 0，故 \(A^2 + B^2 > 0\)。

根据叉积符号规则（知识清单 3.2），叉积为正表示 \(\vec{n}\) 在 \(\vec{v}\) 的逆时针方向，即左侧。\(\square\)