公平组合游戏、SG定理和SG函数

Sprague-Grundy 理论：精简版定义、引理与定理

全域公理：所有博弈均建立在有限有向无环图（Finite DAG）上，即有限步内终止，无循环。

符号

符号	LaTeX	含义
$G,H,A,B,X$	$G,H,A,B,X$	任意公平组合游戏状态
$0$	$0$	零游戏（终止态，空集）
$\varnothing$	$\varnothing$	空集，与 $0$ 等价
$*n$	$*n$	单堆尼姆游戏，大小为 $n$
$g,h,x$	$g,h,x$	游戏 $G$ 的选项（后继状态）
$G \to H$	$G \to H$	从 $G$ 可一步到 $H$
$\in,\notin$	$\in,\notin$	属于 / 不属于
$\subseteq$	$\subseteq$	子集
$\cup$	$\cup$	并集
$\{\dots\}$	$\{\dots\}$	集合构造器
$\mathbb{N}$	$\mathbb{N}$	非负整数集
$\forall,\exists$	$\forall,\exists$	全称 / 存在量词
$\iff,\implies$	$\iff,\implies$	当且仅当 / 推出
$G+H$	$G+H$	析取和（组合游戏）
$G\approx H$	$G\approx H$	游戏等价关系
$G\in\mathcal P$	$G\in\mathcal P$	必败态（P-position）
$G\in\mathcal N$	$G\in\mathcal N$	必胜态（N-position）
$\text{mex}(S)$	$\text{mex}(S)$	最小排除值
$\mathcal S(G)$	$\mathcal S(G)$	SG 值
$\oplus$	$\oplus$	按位异或（Nim-sum）
$\square$	$\square$	证明结束
$\blacksquare$	$\blacksquare$	全部证明完毕

定义

定义 1（游戏）

\[G = \{ G_1, G_2, \dots, G_k \} \]

递归定义，$G_i$ 为一步可达的后继状态。

定义 2（零游戏）

\[0 = \varnothing = \{\} \]

定义 3（选项）

$H \in G$ 称 $H$ 为 $G$ 的选项，记 $G \to H$。

定义 4（公平组合游戏 ICG）

满足：双人、完全信息、无随机、正常规则（无法行动者负）、公平性（双方走法集合相同）。

定义 5（析取和）

\[G + H = \{ g + H \mid g \in G \} \cup \{ G + h \mid h \in H \} \]

定义 6（P-position 与 N-position）

\[G \in \mathcal P \iff \forall g \in G,\ g \in \mathcal N \]

\[G \in \mathcal N \iff \exists g \in G,\ g \in \mathcal P \]

基础：$0 \in \mathcal P$。

定义 7（等价）

\[G_1 \approx G_2 \iff \forall X,\ \big( (G_1+X) \in \mathcal P \iff (G_2+X) \in \mathcal P \big) \]

定义 8（尼姆堆 $*n$）

\[*n = \{ *0, *1, \dots, *(n-1) \},\quad *0 = 0 \]

定义 9（mex）

\[\text{mex}(S) = \min\{ k \in \mathbb N \mid k \notin S \} \]

定义 10（SG 函数）

\[\mathcal S(G) = \text{mex}\big( \{ \mathcal S(g) \mid g \in G \} \big) \]

引理与定理

引理 1：$\mathcal S(*n) = n$

证明：对 $n$ 归纳。$n=0$ 时 $\mathcal S(*0)=\text{mex}(\varnothing)=0$。若 $k<n$ 时 $\mathcal S(*k)=k$，则 $\mathcal S(*n)=\text{mex}(\{0,\dots,n-1\})=n$。$\square$

引理 2（核心构造引理）：$G + *\mathcal S(G)$ 为 P

证明：对游戏 $G$ 的结构深度（最长路径长度）$d$ 进行强归纳。

定义命题 $P(H):\ H + *\mathcal S(H) \in \mathcal P$。

基础情况（$d=0$）：此时 $G$ 无后继，所以 $G = 0$。由定义 10 得 $\mathcal S(0) = \text{mex}(\varnothing) = 0$。令 $g = \mathcal S(G) = 0$，则 $G + *g = 0 + *0 = 0$。由定义 6 的基础情况，$0 \in \mathcal P$。故 $P(G)$ 成立。
归纳步骤：假设对于所有深度小于 $d$ 的游戏 $H$，$P(H)$ 都已成立。现在考虑深度为 $d$ 的 $G$。令 $g = \mathcal S(G)$，我们要证 $P(G)$，即 $G + *g \in \mathcal P$。根据定义 6，只需证明 $G + *g$ 的所有后继均为 N-position。
- 情况一：玩家在 $G$ 中走一步，到达 $G'$（即 $G \to G'$）。
  记 $a = \mathcal S(G')$。由 SG 定义（mex 不可达性），$a \neq g$。
  我们分两种子情况证明 $G' + *g$ 是 N-position：
  - 子情况 1.1：$a < g$。
    根据尼姆堆定义（定义 8），$*g \to *a$，所以从 $G' + *g$ 可以一步走到 $G' + *a$。
    由于 $G'$ 的深度小于 $G$，由归纳假设 $P(G')$ 成立，即 $G' + *\mathcal S(G') = G' + *a \in \mathcal P$。
    因此 $G' + *g$ 存在一步到 P-position，由定义 6 可知 $G' + *g \in \mathcal N$。
  - 子情况 1.2：$a > g$。
    因为 $a = \mathcal S(G') = \text{mex}\{\mathcal S(u) \mid u \in G'\}$，且 $g < a$，根据 mex 定义（全覆盖性），$g$ 必然出现在 $G'$ 的后继 SG 值集合中。
    因此存在 $G' \to G''$ 使得 $\mathcal S(G'') = g$。
    于是从 $G' + *g$ 可以一步走到 $G'' + *g$。
    由于 $G''$ 的深度小于 $G'$，进而小于 $G$，由归纳假设 $P(G'')$ 成立，即 $G'' + *\mathcal S(G'') = G'' + *g \in \mathcal P$。
    因此 $G' + *g$ 存在一步到 P-position，由定义 6 可知 $G' + *g \in \mathcal N$。
- 情况二：玩家在尼姆堆 $*g$ 中走一步，到达 $*k$（$0 \le k < g$）。
  根据 mex 定义（全覆盖性），因为 $g = \text{mex}\{\mathcal S(t) \mid t \in G\}$，且 $k < g$，所以 $k$ 必然出现在 $G$ 的后继 SG 值集合中。
  因此存在 $G \to G_k$ 使得 $\mathcal S(G_k) = k$。
  从 $G + *k$ 可以一步走到 $G_k + *k$。
  由于 $G_k$ 的深度小于 $G$，由归纳假设 $P(G_k)$ 成立，即 $G_k + *\mathcal S(G_k) = G_k + *k \in \mathcal P$。
  因此 $G + *k$ 存在一步到 P-position，由定义 6 可知 $G + *k \in \mathcal N$。

综合：$G + *g$ 的所有后继均为 N-position，故由定义 6 可知 $G + *g \in \mathcal P$。即 $P(G)$ 成立，归纳完成。$\square$

引理 2.5（镜像策略与吸收引理）

命题 (a)（镜像策略）：对于任意游戏 $G$，$G + G \in \mathcal P$。

证明：后手采用“镜像策略”——无论先手在其中一个 $G$ 中如何走，后手在另一个 $G$ 中完全模仿同样的走法。这样始终保持两个 $G$ 的状态完全相同，且后手总有回应，最终先手无路可走。故 $G+G$ 为必败态。$\square$

命题 (b)（吸收引理）：若 $A \in \mathcal P$，则对于任意游戏 $G$，都有 $G \approx G + A$。

证明：需证对任意 $X$，$G+X$ 与 $G+A+X$ 同胜同负。

若 $G+X$ 为必胜态，则先手可按其必胜策略移动。若对手在子游戏 $A$ 中行动，由于 $A$ 是必败态，后手总能将 $A$ 恢复到必败状态（即在 $A$ 中采取相应应对），其余时刻沿用 $G+X$ 的策略。最终先手获胜。
若 $G+X$ 为必败态，则无论先手在 $G+X$ 还是在 $A$ 中行动，后手都能分别应对：在 $G+X$ 中执行该子游戏的必败策略，在 $A$ 中恢复其必败性。因此先手无法获胜，$G+A+X$ 也为必败。

故二者同为必胜或同为必败，由定义 7 得 $G \approx G+A$。$\square$

引理 3（等价判定）

命题：$A \approx B$ 当且仅当 $A+B \in \mathcal P$。

证明：

充分性（若 $A+B \in \mathcal P$，则 $A \approx B$）：
由引理 2.5 (b)（吸收引理），取 $G = A$，$A_{\text{abs}} = A+B$（因 $A+B\in\mathcal P$），得

\[A \approx A + (A+B) = (A+A) + B. \]
由引理 2.5 (a)（镜像策略），$A+A \in \mathcal P$。再用吸收引理（取 $G = B$，吸收 $A+A$），得

\[B \approx B + (A+A) = (A+A) + B. \]
因此 $A \approx (A+A)+B \approx B$，传递性得 $A \approx B$。
必要性（若 $A \approx B$，则 $A+B \in \mathcal P$）：
由 $A \approx B$，取环境 $X = B$，根据定义 7 有

\[A+B \in \mathcal P \iff B+B \in \mathcal P. \]
由引理 2.5 (a)，$B+B \in \mathcal P$，故 $A+B \in \mathcal P$。

综上，命题得证。$\square$

定理 4（SG 定理——等价性）

\[G \approx *\mathcal S(G) \]

证明：由引理 2，$G+*\mathcal S(G) \in \mathcal P$。在引理 3 中令 $A=G$，$B=*\mathcal S(G)$，即得 $G \approx *\mathcal S(G)$。$\square$

引理 5（Nim 异或判定）

\[*a_1+\cdots+*a_n \in \mathcal P \iff a_1\oplus\cdots\oplus a_n = 0 \]

证明：设 $X = a_1 \oplus \cdots \oplus a_n$。

若 $X=0$：任取一步将某个 $a_i$ 改为 $a_i'$，其中 $0 \le a_i' < a_i$（由定义 8）。新的异或和 $ X' = X \oplus a_i \oplus a_i' = a_i \oplus a_i' \neq 0 $（因为 $a_i \neq a_i'$）。所有后继均为异或非零的状态。根据本引理即将证明的另一个方向（异或非零为 N），这些后继均为 N。因此当前状态为 P。
若 $X \neq 0$：取 $X$ 的二进制最高位 $k$，必然存在某个 $a_j$ 其第 $k$ 位为 1。令 $a_j' = a_j \oplus X$，则 $a_j' < a_j$。由定义 8，从 $*a_j$ 可合法走到 $*a_j'$。移动后新的异或和为 $X \oplus a_j \oplus a_j' = 0$，即存在一步到达 P-position。因此当前状态为 N。

综合两方向，引理得证。$\square$

引理 5.5（等价关系在析取和下的相容性）

命题：若 $A \approx A'$ 且 $B \approx B'$，则 $A+B \approx A'+B'$。
证明：对任意游戏 $X$，由 $A \approx A'$，取环境为 $B+X$，根据定义 7 有：

\[(A+B+X) \in \mathcal P \iff (A'+B+X) \in \mathcal P. \]

又由 $B \approx B'$，取环境为 $A'+X$，有：

\[(B+A'+X) \in \mathcal P \iff (B'+A'+X) \in \mathcal P. \]

利用析取和的交换律与结合律（由定义 5 保证），将上述两式传递，得：

\[(A+B+X) \in \mathcal P \iff (A'+B'+X) \in \mathcal P. \]

由于 $X$ 的任意性，由定义 7 可知 $A+B \approx A'+B'$。$\square$

定理 6（SG 定理——异或和）

\[\mathcal S(G_1 + G_2 + \cdots + G_n) = \mathcal S(G_1) \oplus \mathcal S(G_2) \oplus \cdots \oplus \mathcal S(G_n) \]

证明：

设 $a_i = \mathcal S(G_i)$，记 $X = a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n$。

第一步：先证明纯 Nim 堆的组合 $*a_1 + *a_2 + \cdots + *a_n$ 等价于单个 Nim 堆 $*X$。

考虑组合游戏 $*a_1 + *a_2 + \cdots + *a_n + *X$，其对应的 Nim 堆大小为 $(a_1, a_2, \dots, a_n, X)$。由引理 5（Nim 异或判定），该组合的异或和为

\[a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \oplus X = X \oplus X = 0, \]

因此 $*a_1 + *a_2 + \cdots + *a_n + *X \in \mathcal P$。由引理 3 得

\[*a_1 + *a_2 + \cdots + *a_n \approx *X. \]

第二步：由定理 4，每个 $G_i \approx *a_i$。反复应用引理 5.5（等价相容性），得

\[G_1 + G_2 + \cdots + G_n \approx *a_1 + *a_2 + \cdots + *a_n. \]

由第一步已证 $*a_1 + *a_2 + \cdots + *a_n \approx *X$，结合等价关系的传递性，有

\[G_1 + G_2 + \cdots + G_n \approx *X. \]

由于等价关系保持 SG 值不变（由定理 4 可知 SG 值是等价类的唯一标签），且由引理 1 知 $\mathcal S(*X)=X$，因此

\[\mathcal S(G_1 + G_2 + \cdots + G_n) = X = a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n. \]

代入 $a_i = \mathcal S(G_i)$，得

\[\mathcal S(G_1 + G_2 + \cdots + G_n) = \mathcal S(G_1) \oplus \mathcal S(G_2) \oplus \cdots \oplus \mathcal S(G_n). \]

$\square$

系定理 7（最终胜负判定）

\[G\in\mathcal P \iff \mathcal S(G)=0 \]

证明：由定理 4，$G \approx *\mathcal S(G)$。若 $\mathcal S(G)=0$，则 $G \approx *0 = 0$，而 $0 \in \mathcal P$，故 $G \in \mathcal P$。若 $\mathcal S(G)=n \neq 0$，则 $G \approx *n$。由于 $n>0$，由定义 8 得 $0 \in *n$，即 $*n$ 存在一步到 P-position，所以 $*n \in \mathcal N$。等价保持胜负性质，故 $G \in \mathcal N$。综上，$G\in\mathcal P \iff \mathcal S(G)=0$。$\square$

逻辑依赖链（最终完善版）

定义 1–10（公理基础）
引理 1（$\mathcal S(*n)=n$）← 独立归纳
引理 2（$G+*g\in\mathcal P$）← 结构归纳法（含基础情况、明确的 $P(H)$ 命题、$g$ 使用前定义）
引理 2.5（镜像策略与吸收引理）← 策略复制与定义 7
引理 3（$A\approx B \iff A+B\in\mathcal P$）← 引理 2.5 + 定义 7
定理 4（$G\approx *\mathcal S(G)$）← 引理 2 + 引理 3
引理 5（Nim 异或判定）← 定义 8 + 异或性质
引理 5.5（等价关系与加法相容性）← 定义 7 + 定义 5
定理 6（异或和 SG 定理）← 定理 4 + 引理 5.5 + 引理 5
系定理 7（胜负判定）← 定理 4

$\blacksquare$

posted @ 2026-07-08 21:55 H_Fx 阅读(15) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

符号	LaTeX	含义
\(G,H,A,B,X\)	\(G,H,A,B,X\)	任意公平组合游戏状态
\(0\)	\(0\)	零游戏（终止态，空集）
\(\varnothing\)	\(\varnothing\)	空集，与 \(0\) 等价
\(*n\)	\(*n\)	单堆尼姆游戏，大小为 \(n\)
\(g,h,x\)	\(g,h,x\)	游戏 \(G\) 的选项（后继状态）
\(G \to H\)	\(G \to H\)	从 \(G\) 可一步到 \(H\)
\(\in,\notin\)	\(\in,\notin\)	属于 / 不属于
\(\subseteq\)	\(\subseteq\)	子集
\(\cup\)	\(\cup\)	并集
\(\{\dots\}\)	\(\{\dots\}\)	集合构造器
\(\mathbb{N}\)	\(\mathbb{N}\)	非负整数集
\(\forall,\exists\)	\(\forall,\exists\)	全称 / 存在量词
\(\iff,\implies\)	\(\iff,\implies\)	当且仅当 / 推出
\(G+H\)	\(G+H\)	析取和（组合游戏）
\(G\approx H\)	\(G\approx H\)	游戏等价关系
\(G\in\mathcal P\)	\(G\in\mathcal P\)	必败态（P-position）
\(G\in\mathcal N\)	\(G\in\mathcal N\)	必胜态（N-position）
\(\text{mex}(S)\)	\(\text{mex}(S)\)	最小排除值
\(\mathcal S(G)\)	\(\mathcal S(G)\)	SG 值
\(\oplus\)	\(\oplus\)	按位异或（Nim-sum）
\(\square\)	\(\square\)	证明结束
\(\blacksquare\)	\(\blacksquare\)	全部证明完毕

Fx