20251018模拟赛

比赛网址

T1

简单DP题，但赛时将翻转理解为取反，导致耗时过长，下次应该仔细读题

T2

大模拟，赛时由于代码漏洞挂了$28$分，应注意细节，是思路更严谨。

T3

赛时未开，考察字典树和回文串综合运用。

T4

赛时只会$n^3$做法，并未有思路。sol为问题转换+神仙数学容斥。数学题接触较少，还应多加练习。

$Sol$:考虑转换题意。设前n个数和为$s_1$，后n个数和为$s_2$。已知若$s_1<s_2$则 $s_2>s_1$ ,这意味着一种$s_1<s_2$的方案对应$s_2>s_1$， 即$P(s_1<s_2)=P(s_1>s_2)$,又已知$P(s_1<s_2)+P(s_1>s_2)+P(s_2=s_1)=1$ 那么$P(s_1>s_2)=\frac {1-P(s_2=s_1)} {2}$ 。

问题难点即在于求$a_1+...+a_n-a_{n+1}-...-a_{2n}=0$的方案，考虑 $-a_i$ 的值域$[-m,0]$ 将其加上m可得值域为$[0,m]$,那么原等式化为 $a_1+...+a_n-a_{n+1}+m-...-a_{2n}+m=nm$，即若干数$x_i$, 值域为$[0,m]$,要求其和为 $nm$ 。

由于有值域限制，不能直接用插板法，于是考虑容斥计算不符合要求的解得数量再用$(m+1)^n$（总解数量）减去。设 $F(i)$表示有$i$个 $> m$的整数和$2n−i$个⾮负整数总和为$nm$的⽅案数，则 $\sum_{i=0}^{2n} (-1)^i*F(i)$（先计算出每一位$x_i>m$的方案之和，再减去重合部分）即为所求。考虑如何计算 $F(i)$ 。

难点在于如何让$F(i)$定义中去掉 $>m$的限制。考虑将那 $i$个 $>m$的数减去 $m+1$，让他们的值域为$[0,+\infty]$ ，那么$F(i)$定义便成为$2n$个非负整数，使得它们的和为 $nm-i(m+1)$。这便成为插板法基础应用，方案为 $\dbinom{2n}{i}\dbinom{nm-i*(m+1)+2n-1}{2n-1}$(记得有从$2n$个数中选$i$个数的方案$\dbinom{2n}{i}$)。综上所述，符合要求的方案数为

$\frac{(m+1)^n-\sum_{i=0}(-1)^{i*\dbinom{2n}{i}*\dbinom{nm-i*(m+1)+2n-1}{2n-1}}{2}$,而本题求的是概率，再乘以$\frac{1}{(m+1)}n}$即是最终答案

附

sol