20251018模拟赛

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T1

简单DP题，但赛时将翻转理解为取反，导致耗时过长，下次应该仔细读题

T2

大模拟，赛时由于代码漏洞挂了\(28\)分，应注意细节，是思路更严谨。

T3

赛时未开，考察字典树和回文串综合运用。

T4

赛时只会\(n^3\)做法，并未有思路。sol为问题转换+神仙数学容斥。数学题接触较少，还应多加练习。

\(Sol\):考虑转换题意。设前n个数和为\(s_1\)，后n个数和为\(s_2\)。已知若\(s_1<s_2\)则 \(s_2>s_1\) ,这意味着一种\(s_1<s_2\)的方案对应\(s_2>s_1\)， 即\(P(s_1<s_2)=P(s_1>s_2)\),又已知\(P(s_1<s_2)+P(s_1>s_2)+P(s_2=s_1)=1\) 那么\(P(s_1>s_2)=\frac {1-P(s_2=s_1)} {2}\) 。

问题难点即在于求\(a_1+...+a_n-a_{n+1}-...-a_{2n}=0\)的方案，考虑 \(-a_i\) 的值域\([-m,0]\) 将其加上m可得值域为\([0,m]\),那么原等式化为 \(a_1+...+a_n-a_{n+1}+m-...-a_{2n}+m=nm\)，即若干数\(x_i\), 值域为\([0,m]\),要求其和为 \(nm\) 。

由于有值域限制，不能直接用插板法，于是考虑容斥计算不符合要求的解得数量再用\((m+1)^n\)（总解数量）减去。设 \(F(i)\)表示有\(i\)个 \(> m\)的整数和\(2n−i\)个⾮负整数总和为\(nm\)的⽅案数，则 \(\sum_{i=0}^{2n} (-1)^i*F(i)\)（先计算出每一位\(x_i>m\)的方案之和，再减去重合部分）即为所求。考虑如何计算 \(F(i)\) 。

难点在于如何让\(F(i)\)定义中去掉 \(>m\)的限制。考虑将那 \(i\)个 \(>m\)的数减去 \(m+1\)，让他们的值域为\([0,+\infty]\) ，那么\(F(i)\)定义便成为\(2n\)个非负整数，使得它们的和为 \(nm-i*(m+1)\)。这便成为插板法基础应用，方案为 \(\dbinom{2n}{i}*\dbinom{nm-i*(m+1)+2n-1}{2n-1}\)(记得有从\(2n\)个数中选\(i\)个数的方案\(\dbinom{2n}{i}\))。综上所述，符合要求的方案数为

\(\frac{(m+1)^n-\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i*\dbinom{2n}{i}*\dbinom{nm-i*(m+1)+2n-1}{2n-1}}{2}\),而本题求的是概率，再乘以\(\frac{1}{(m+1)^n}\)即是最终答案

附

sol