随笔分类 - 学习笔记
备忘知识点记录
摘要：回文树(也就是回文自动机)实际上是奇偶两棵树，每一个节点代表一个本质不同的回文子串（一棵树上的串长度全部是奇数，另一棵全部是偶数），原串中每一个本质不同的回文子串都在树上出现一次且仅一次。 一个节点的fail指针指向它的最长回文后缀（不包括自身，所有空fail均连向1）。归纳容易证明，当在原串末尾新
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摘要：经典问题（以下全部默认$n\leqslant m$）：$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{m}gcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\varphi(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor$
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摘要：二进制分组思想很简单，就是把下标拆成几个2的次幂的和，对每个2的次幂维护答案，复杂度是暴力重构一组的复杂度乘log（如果可以归并可能会少个log）。 这里其实想整理下一些修改独立的数据结构题的套路。 离线算法： (1) 只有插入：CDQ分治。 (2) 有删除： 支持删除操作：CDQ分治。 不支持删除
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摘要：笛卡尔树的节点具有两个属性：键值与权值。 中序遍历每个节点，则其键值递增。任意一个父亲的权值都一定大于（小于）其儿子的权值。 由此可知，笛卡尔树的键值具有二叉搜索树的性质，权值具有堆的性质。Treap就是实现了一棵笛卡尔树。 笛卡尔树一般是根据序列建立的，一般以序列下标为键值，序列中的数为权值。 它
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摘要：FHQ Treap，又称无旋treap，一种不基于旋转机制的平衡树，可支持所有有旋treap、splay等能支持的操作（只有在LCT中会比splay复杂度多一个log）。最重要的是，它是OI中唯一一种支持可持久化的平衡树。 以下只提供题表与代码，不提供教程。 1.[BZOJ3224]普通平衡树 FH
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摘要：长链剖分，类似于重链剖分(dsu on tree)的一种替代算法。最广泛的用法是优化与深度有关的树上DP，以及处理一些与点分治类似的问题。有一部分长链剖分题也可以用dsu on tree做，单复杂度往往会多一个log。 每个点找到高度最大的儿子作为自己的重儿子，连续的重儿子形成重链。可以发现，一个点
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摘要：dsu on tree，又名树上启发式合并、重链剖分，是一类十分实用的trick，它常常可以作为一些正解的替代算法： 1.DFS序+线段树/主席树/线段树合并 2.对DFS序分块的树上莫队 3.长链剖分（但复杂度会多一个log） 4.点分治（通常可以做有根树的点分治） 重链剖分的概念，用一个DFS找
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摘要：Prufer序列 在一棵n个节点带标号树中，我们认为度数为1的点为叶子。n个点的树的Prufer序列是经过下面流程得到的一个长度为n-2的序列。 1.若当前树中只剩下两个点，退出，否则执行2。 2.找到树中编号最小的节点，将与它相连的那个点的编号加入Prufer序列的末尾，并将这个叶子删除。返回1。
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摘要：整体二分，就是对答案（权值）做CDQ分治。 有些问题会给出一些修改和一些询问，当可以通过二分后线性判定回答询问时，我们就可以将所有修改和询问放在一起二分，复杂度一般会将一个O(n)级别优化掉，这就是整体二分。 一般配合树状数组、线段树等数据结构，来替代树套树、KD-Tree等代码量和常数都较大的方法
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摘要：有些题目，在要求支持link-cut之外，还会在线询问某个子树的信息。LCT可以通过维护虚边信息完成这个操作。 对于LCT上每个节点，维护两个两sz和si，后者维护该点所有虚儿子的信息，前者维护该点的所有信息和。 那么显然有：$si[x]=\sum sz[pson]$，$sz[x]=sz[lson]
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摘要：WQS二分，一种优化一类特殊DP的方法。 很多最优化问题都是形如“一堆物品，取与不取之间有限制。现在规定只取k个，最大／小化总收益”。 这类问题最自然的想法是：设f[i][j]表示前i个取j个的最大收益，转移即可。复杂度O(n^2)。 那么，如果在某些情况下，可以通过将问题稍作转化，变成一个不强制选
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摘要：DP套DP，就是将内层DP的结果作为外层DP的状态进行DP的方法。 [BZOJ3864]Hero meet devil 对做LCS的DP数组差分后状压，预处理出转移数组，然后直接转移即可。 tr[S][k]表示当前差分状压后的状态为S，加入字符k(k为ACGT中一个)后会转移到什么状态。 f[i][
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摘要：首先看一个广义SAM的经典应用： BZOJ3277&BZOJ3473 给定n个字符串，询问每个字符串有多少子串（不包括空串）是所有n个字符串中至少k个字符串的子串（包括本身）。 对于多串问题，普通SAM已经无法胜任。有各种应对这类多串问题的方法： (1) 直接建SAM，每次插入新串时将lst设为1即
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摘要：BSGS $Big\ Step\ Giant\ Step$,大步小步法，一种在$O(\sqrt{p})$内求解方程$a^x\equiv b (mod\ p)$的算法。 先考虑$p$为质数的情况。 令$x=im-j$，$m=\lceil \sqrt{p} \rceil$（注意是上取整，要保证大步比小步
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摘要：Miller-Rabin素性测试算法： 根据费马小定理当p为素数时成立，所以如果存在一个a使x不满足此定理，则x必然不为素数。 但这是充分条件而不是必要条件，所以对于每个a，可能存在满足定理的x，这时就要选取多个a同时检测，这种验证素性的方法即为Miller-Rabin算法。 当a取2,3,5,7时
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摘要：快一年了都没碰到什么必须用KDT的题目导致模板完全忘光了，重新复习了一下。 K_Dimention_Tree是一种用来处理二维以上问题的数据结构（OI中一般都是二维），本质是二维启发式估价函数实现剪枝（实际上就是暴搜的优化），随机数据是大常数$O(n\log n)$，构造数据是$O(n\sqrt{n
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摘要：VFK的PPT堪称经典，迄今为止看过的最好的一篇，真的是体现出数学精妙。 主要就是各个方面的融汇贯通，涉及的知识有：复数，莫比乌斯反演，矩阵变换，微积分初步等。 直接进入正题。 转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8886806.html 目录： 一.
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摘要：一.斯特林数反演斯特林数反演相关内容：http://blog.csdn.net/OwenOwl/article/details/79442341 下降幂是指$x*(x-1)*(x-2)*...*(x-k+1)$，上升幂是指$x*(x+1)*(x+2)*...*(x+k-1)$ 接着我们考虑斯特林数反
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摘要：花了点时间重新复习了一下各种博弈，下面总结一些常用的内容。 OI中的博弈游戏大部分都是组合博弈，游戏可以转换为有向无环图。 博弈论的题目一般分为两种：找规律直接O(1)出解，或通过结论等方法转换成经典博弈模型并用SG函数解决。 对于一道博弈论的题目，一般有这几种技巧： 1.手玩游戏并努力找到其中的规
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摘要：学习动态点分治之前要先弄清楚点分治的原理，二者的应用范围的不同就在于动态的支持在线修改操作，而实现的不同就在于动态点分治要建点分树。 OI中有很多树上统计问题，这类问题往往都有一个比较容易实现的暴力做法，而用高级数据结构维护信息有显得过于复杂，有没有一种“优美的暴力”，能既保证思维的简单性，又有更高
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