KD-Tree复习笔记(BZOJ1941 & BZOJ2648 & BZOJ4066)
快一年了都没碰到什么必须用KDT的题目导致模板完全忘光了，重新复习了一下。
K_Dimention_Tree是一种用来处理二维以上问题的数据结构（OI中一般都是二维），本质是二维启发式估价函数实现剪枝（实际上就是暴搜的优化），随机数据是大常数$O(n\log n)$，构造数据是$O(n\sqrt{n})$，但是好像可以过50W。
先说一下实现：
Build() : 对于二维中的一系列点，枚举x坐标中位数的一条直线，直线两边的点分别划为左右子树，下一层枚举y坐标中位数，不断交替进行。
Ins() : 同样x，y坐标交替作为关键字插入，类似平衡数，代码很简短。
Que() : 先求出两棵子树的估价函数，选估价更优的递归下去，然后递归另一个（如果估价比当前答案还要劣则剪枝）。由此可知，估价函数和A-Star中的启发式函数一样，必须保证估价比实际优。
下面分别说一下两个模型的启发式函数：
1.曼哈顿最小值和最大值：
1 int getmn(P a){ int s=0; rep(i,0,1) s+=max(T[i]-a.mx[i],0),s+=max(a.mn[i]-T[i],0); return s; } 2 int getmx(P a){ int s=0; rep(i,0,1) s+=max(abs(T[i]-a.mx[i]),abs(T[i]-a.mn[i])); return s; }
2.欧氏距离最大值：
int getmx(P a){ int s=0; rep(i,0,1) s+=sqr(max(abs(T[i]-a.mx[i]),abs(T[i]-a.mn[i]))); return s; }
几个注意点：
1.并不一定需要启发式函数，只需要普通的显然的剪枝，KD树也不一定是求最优化，见下面例题。
2.模板稍长且很容易写错，并且很多时候出错不体现在WA而是TLE，写的时候一定要注意细节。
3.build因为有时是rebuild，所以没有数的地方要返回0（被坑了好多次）
下面是例题：
1. BZOJ1941
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 5 typedef long long ll; 6 using namespace std; 7 8 const int N=500010,inf=1000000000; 9 int n,ans=inf,res,rt,F=0; 10 11 inline void cmin(int &x,int y){ if (y<x) x=y; } 12 inline void cmax(int &x,int y){ if (y>x) x=y; } 13 int abs(int x){ return (x<0) ? -x : x; } 14 15 struct P{ 16 int d[2],mx[2],mn[2],l,r; 17 int& operator [](int x){ return d[x]; } 18 friend bool operator <(P a,P b){ return a[F]<b[F]; } 19 friend int dis(P a,P b){ return abs(a[0]-b[0])+abs(a[1]-b[1]); } 20 }p[N],t[N],T; 21 22 void upd(int x){ 23 int l=t[x].l,r=t[x].r; 24 rep(i,0,1){ 25 t[x].mn[i]=t[x].mx[i]=t[x][i]; 26 if (l) cmin(t[x].mn[i],t[l].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[l].mx[i]); 27 if (r) cmin(t[x].mn[i],t[r].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[r].mx[i]); 28 } 29 } 30 31 int build(int l,int r,int k){ 32 if (l>r) return 0; 33 F=k; int mid=(l+r)>>1; 34 nth_element(p+l,p+mid,p+r+1); t[mid]=p[mid]; 35 rep(i,0,1) t[mid].mn[i]=t[mid].mx[i]=t[mid][i]; 36 t[mid].l=build(l,mid-1,k^1); t[mid].r=build(mid+1,r,k^1); 37 upd(mid); return mid; 38 } 39 40 int getmn(P a){ int s=0; rep(i,0,1) s+=max(T[i]-a.mx[i],0),s+=max(a.mn[i]-T[i],0); return s; } 41 int getmx(P a){ int s=0; rep(i,0,1) s+=max(abs(T[i]-a.mx[i]),abs(T[i]-a.mn[i])); return s; } 42 43 void quemn(int x){ 44 int tmp=dis(T,t[x]); 45 if (tmp) res=min(res,tmp); 46 int l=t[x].l,r=t[x].r,dl=inf,dr=inf; 47 if (l) dl=getmn(t[l]); if (r) dr=getmn(t[r]); 48 if (dl<dr) { if (dl<res) quemn(l); if (dr<res) quemn(r); } 49 else { if (dr<res) quemn(r); if (dl<res) quemn(l); } 50 } 51 52 void quemx(int x){ 53 res=max(res,dis(T,t[x])); 54 int l=t[x].l,r=t[x].r,dl=-inf,dr=-inf; 55 if (l) dl=getmx(t[l]); if (r) dr=getmx(t[r]); 56 if (dl>dr) { if (dl>res) quemx(l); if (dr>res) quemx(r); } 57 else { if (dr>res) quemx(r); if (dl>res) quemx(l); } 58 } 59 60 int que(int f,int x,int y){ 61 T[0]=x; T[1]=y; 62 if (f) res=-inf,quemx(rt); else res=inf,quemn(rt); 63 return res; 64 } 65 66 int main(){ 67 freopen("bzoj1941.in","r",stdin); 68 freopen("bzoj1941.out","w",stdout); 69 scanf("%d",&n); 70 rep(i,1,n) scanf("%d%d",&p[i][0],&p[i][1]); 71 rt=build(1,n,0); 72 rep(i,1,n) ans=min(ans,que(1,p[i][0],p[i][1])-que(0,p[i][0],p[i][1])); 73 printf("%d\n",ans); 74 return 0; 75 }
2.BZOJ2648
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 5 typedef long long ll; 6 using namespace std; 7 8 const int N=1000010,inf=1000000000; 9 int n,m,F,nd,rt,op,res; 10 11 inline void cmin(int &x,int y){ if (y<x) x=y; } 12 inline void cmax(int &x,int y){ if (y>x) x=y; } 13 int abs(int x){ return (x<0) ? -x : x; } 14 15 struct P{ 16 int d[2],mn[2],mx[2],l,r; 17 int& operator [](int x){ return d[x]; } 18 friend bool operator <(P a,P b){ return a[F]<b[F]; } 19 friend int dis(P a,P b){ return abs(a[0]-b[0])+abs(a[1]-b[1]); } 20 }p[N],t[N],a; 21 22 void upd(int x){ 23 int l=t[x].l,r=t[x].r; 24 rep(i,0,1){ 25 t[x].mn[i]=t[x].mx[i]=t[x][i]; 26 if (l) cmin(t[x].mn[i],t[l].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[l].mx[i]); 27 if (r) cmin(t[x].mn[i],t[r].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[r].mx[i]); 28 } 29 } 30 31 int build(int l,int r,int k){ 32 if (l>r) return 0; 33 F=k; int mid=(l+r)>>1; 34 nth_element(p+l,p+mid,p+r+1); t[mid]=p[mid]; 35 rep(i,0,1) t[mid].mn[i]=t[mid].mx[i]=t[mid][i]; 36 t[mid].l=build(l,mid-1,k^1); t[mid].r=build(mid+1,r,k^1); 37 upd(mid); return mid; 38 } 39 40 void ins(int &x,int k){ 41 if (!x) { t[x=++nd]=a; upd(x); return; } 42 if (a[k]<=t[x][k]) ins(t[x].l,k^1); else ins(t[x].r,k^1); 43 upd(x); 44 } 45 46 int get(int x){ 47 int s=0; 48 rep(i,0,1) s+=max(a[i]-t[x].mx[i],0)+max(t[x].mn[i]-a[i],0); 49 return s; 50 } 51 52 void que(int x){ 53 res=min(res,dis(t[x],a)); 54 int l=t[x].l,r=t[x].r,dl=inf,dr=inf; 55 if (l) dl=get(l); if (r) dr=get(r); 56 if (dl<dr) { if (dl<res) que(l); if (dr<res) que(r); } 57 else { if (dr<res) que(r); if (dl<res) que(l); } 58 } 59 60 int main(){ 61 scanf("%d%d",&n,&m); 62 rep(i,1,n) scanf("%d%d",&p[i][0],&p[i][1]); 63 rt=build(1,n,0); nd=n; 64 rep(i,1,m){ 65 scanf("%d%d%d",&op,&a[0],&a[1]); 66 if (op==1) ins(rt,0); else res=inf,que(rt),printf("%d\n",res); 67 } 68 return 0; 69 }
3.BZOJ4066
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 5 #define G x1,y1,x2,y2,t[x].mn[0],t[x].mn[1],t[x].mx[0],t[x].mx[1] 6 typedef long long ll; 7 using namespace std; 8 9 const int N=200010; 10 int n,op,F,rt,m=10000; 11 ll v,ans,cnt,x1,y1,x2,y2; 12 13 inline void cmin(int &x,int y){ if (y<x) x=y; } 14 inline void cmax(int &x,int y){ if (y>x) x=y; } 15 16 bool in(int x1,int y1,int x2,int y2,int X1,int Y1,int X2,int Y2) 17 { return x1<=X1 && X2<=x2 && y1<=Y1 && Y2<=y2;} 18 bool out(int x1,int y1,int x2,int y2,int X1,int Y1,int X2,int Y2) 19 { return x1>X2 || x2<X1 || y1>Y2 || y2<Y1; } 20 21 struct P{ 22 int d[2],mn[2],mx[2],l,r,v; ll sm; 23 int& operator [](int x){ return d[x]; } 24 friend bool operator <(P a,P b){ return a[F]<b[F]; } 25 }T,p[N],t[N]; 26 27 void upd(int x){ 28 int l=t[x].l,r=t[x].r; 29 rep(i,0,1){ 30 t[x].mn[i]=t[x].mx[i]=t[x][i]; 31 if (l) cmin(t[x].mn[i],t[l].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[l].mx[i]); 32 if (r) cmin(t[x].mn[i],t[r].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[r].mx[i]); 33 } 34 t[x].sm=t[l].sm+t[r].sm+t[x].v; 35 } 36 37 int build(int l,int r,int k){ 38 if (l>r) return 0; 39 F=k; int mid=(l+r)>>1; 40 nth_element(p+l,p+mid,p+r+1); t[mid]=p[mid]; 41 t[mid].l=build(l,mid-1,k^1); t[mid].r=build(mid+1,r,k^1); 42 upd(mid); return mid; 43 } 44 45 void ins(int &x,int k){ 46 if (!x) { t[x=++cnt]=T; upd(x); return; } 47 if (T[0]==t[x][0] && T[1]==t[x][1]){ t[x].v+=T.v; t[x].sm+=T.v; return; } 48 if (T[k]<t[x][k]) ins(t[x].l,k^1); else ins(t[x].r,k^1); 49 upd(x); 50 } 51 52 ll que(int x,int x1,int y1,int x2,int y2){ 53 if (!x) return 0; ll tmp=0,l=t[x].l,r=t[x].r; 54 if (in(G)) return t[x].sm; if (out(G)) return 0; 55 if (in(x1,y1,x2,y2,t[x][0],t[x][1],t[x][0],t[x][1])) tmp+=t[x].v; 56 tmp+=que(l,x1,y1,x2,y2)+que(r,x1,y1,x2,y2); 57 return tmp; 58 } 59 60 int main(){ 61 freopen("bzoj4066.in","r",stdin); 62 freopen("bzoj4066.out","w",stdout); 63 scanf("%d",&n); 64 while (1){ 65 scanf("%d",&op); 66 if (op==3) break; 67 if (op==1){ 68 scanf("%lld%lld%lld",&x1,&y1,&v); 69 T[0]=x1^ans; T[1]=y1^ans; T.v=v^ans; ins(rt,0); 70 if (cnt==m){ 71 rep(i,1,cnt) p[i]=t[i]; m+=10000; rt=build(1,cnt,0); 72 } 73 }else{ 74 scanf("%lld%lld%lld%lld",&x1,&y1,&x2,&y2); 75 x1^=ans; y1^=ans; x2^=ans; y2^=ans; 76 printf("%lld\n",ans=que(rt,x1,y1,x2,y2)); 77 } 78 } 79 return 0; 80 }
4.崂山百花蛇草水：见LOJ代码
