CF585E Present for Vitalik the Philatelist

分析

计数题，考虑容斥。

然后这种和 gcd 有关的题，可以考虑枚举 gcd。

先考虑对于枚举的这个数是质数的情况，设枚举到 x，x 的倍数有 num 个，那么贡献有 \((2^{num}-1)*(n-num)\)。

那么考虑 x 是合数的情况，x 的可能情况在枚举 x 的所有约数时都会计算，所以很自然可以考虑到用莫比乌斯函数当容斥系数，然后得是负的莫比乌斯函数。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=5e5+7;
const int N=1e7+7;
const int mod=1e9+7;
template <class I>
inline void read(I &x){
    int f=1;
    char c;
    for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(x=0;c>='0'&&c<='9';x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar());
    x*=f;
}
int n,mu[N],tot,primes[N],cnt[N],jc[M],mx;
bool v[N];
void sieve(){
	for(int i=2;i<=mx;i++){
		if(!v[i]) primes[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if(1ll*i*primes[j]>mx) break;
			v[i*primes[j]]=1;
			if(!(i%primes[j])) break;
			mu[i*primes[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
int ans;
int main(){
	read(n);
	jc[0]=1;
	int a;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		read(a),cnt[a]++,mx=max(mx,a),jc[i]=jc[i-1]*2%mod;
	sieve();
	for(int i=2;i<=mx;i++){
		if(!mu[i]) continue;
		int num=0;
		for(int j=i;j<=mx;j+=i)
			num+=cnt[j];
		ans=((ans-1ll*mu[i]*(n-num)*(jc[num]-1))%mod+mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}