计数题单

[ARC132E] Paw

正难则反：有一个串 \(s\)，每次随机选择一个 . 位置，并随机一个方向，把该方向所有字符全部变成对应箭头，求左箭头期望个数。

这样一来问题是等价的，但是简化了很多，而且我们一眼就能看出最后的状态是若干 < 拼接一段原始子串再加上若干 >。

不妨对于两个 . 之间的一段求它最后成为那个子串的概率，设其左边有 \(x\) 个 .，右边有 \(y\) 个 .，则概率为 \(f_x \times f_y\)，其中 \(f_n\) 是 \(n\) 个 . 经过操作全部变成 < 的概率。

思考 \(f_n\) 怎么求。\(n\) 个 . 当中一定有些点要被选中操作，第 \(i\) 个点被选中的概率是 \(\frac{1}{n - i + 1}\)（这是因为选中它之前它右边的不能被选中，否则就变成 < 了），一旦被操作就有 \(\frac{1}{2}\) 的概率选错方向，因此一个点上不出问题的概率是 \(1 - \frac{1}{2(n - i + 1)}\)，股 \(f_n = f_{n - 1} \times (1 - \frac{1}{2n})\)。