一定有解：一类实际上很强的性质

我们在做构造或者最优化题目的时候，经常会看到以下的文字：

可以证明，在该约束下问题一定有至少一个解。

这句话在有些题目中确实仅仅是为了打消做题者的疑虑，但是在另一些题目中则是不可多得的珍贵条件。若学会使用此类性质，对此类题目的做题速度将大大提升。因此，我在这里总结了几道要用到这个性质的题目，以及他们对应的入手方向。

数学归纳法

有时候，一定有解是提示我们把问题划分为同类的子问题，并且不需要考虑解决当前问题时对子问题的影响（因为只要保证是同类的子问题，则必然能做出来）。

校OJ（旧）8697

一个 \(n \times m\) 的棋盘，要求用若干 L 型覆盖它，使得只有 \((1, m)\) 不被覆盖，且 L 之间不重叠。

猜想只要余数正确，则一定有解。然后考虑使用数学归纳法，每次覆盖最右上角的几行，然后递归求解相同的问题。

CF1148F

给定两个长度为 \(n\) 的数组 \(mask, val\)，你可以选择一个数 \(s\)，然后修改所有数的 \(val\)，如果 \(s \& mask\) 有奇数个 \(1\) 就把 \(val\) 变成 \(−val\)。输出一个 \(s\) ，使得权值和与原权值和异号。此问题一定有解。

问题一定有解的条件可以转化一下：一定存在两个数 \(x, y\)，使得选择 \(x\) 时权值和为正，选择 \(y\) 是为负。

我们对于 \(i : 61 \to 0\) 考虑每个二进制位，如果对于一个 \(j\)，\(\operatorname{lowbit}(mask_j) = 2^i\)，那么 \(i\) 这一位决定了 \(j\)。我们只需要考虑被位置 \(i\) 决定的数即可，因为剩下的一定有解。因此对于每一位贪心地考虑当前位是否取一就是对的。

强化限制

往往我们做题时需要采取各种方法规避限制。但是有的时候，把题目转化为严格强于原问题的问题反而会更加好做。

CF429E

给定 \(n\) 条线段 \([l_i, r_i]\)，给这些线段红蓝染色，使得最后直线上上任意一个点被蓝色及红色线段覆盖次数之差的绝对值不大于 \(1\)。

坐标可能相同，这样不好做。但是题目没有让判断无解，可知任何此类问题都可解，那么可以直接把坐标离散化，这样新问题严格强于原问题，但是更加好做了，我们可以转化为图论问题（欧拉回路）解决。