摘要：题目 设正整数$a,b,c,d$同时满足条件： (1)$a+b+c+d=2023;$ (2)$ab+ac+ad+bc+bd+cd$是$2023$的倍数; (3)$abc+bcd+cda+dab$是$2023$的倍数. 求证：$abcd$是$2023$的倍数. 提示 很容易考虑$2023$的质因数分解 阅读全文

摘要：题目 设$m,n$是给定的整数, $m\geq n\geq3.$ 求具有下述性质的最小正整数$k$：若将$1,2,\cdots,k$中的每个数任意染为红色或者蓝色, 则或者存在$m$个红色的数$x_1,x_2,\cdots,x_m$(允许相同), 满足$x_1+x_2+\cdots+x_{m-1} 阅读全文

摘要：题目 求具有下述性质的最小正整数$k$：若将$1,2,\cdots,k$中的每个数任意染为红色或者蓝色, 则或者存在$9$个不同的红色的数$x_1,x_2,\cdots,x_9$满足$x_1+x_2+\cdots+x_8 思路 我们自然考虑问题的反面. 问题' 求具有下述性质的最大正整数$k$：对于 阅读全文