2023年全国高中数学联合竞赛A卷加试P3：组合极值、染色
题目 求具有下述性质的最小正整数$k$：若将$1,2,\cdots,k$中的每个数任意染为红色或者蓝色, 则或者存在$9$个不同的红色的数$x_1,x_2,\cdots,x_9$满足$x_1+x_2+\cdots+x_8 < x_9,$ 或者存在$10$个互不相同的蓝色的数$y_1,y_2,\cdots,y_{10}$满足$y_1+y_2+\cdots+y_9 < y_{10}.$
思路 我们自然考虑问题的反面.
问题' 求具有下述性质的最大正整数$k$：对于集合$[k]=\{1,2,\cdots,k\},$ 存在它的无交划分$R,B$(即满足$R\cap B=\varnothing,$ $R\cup B=[k]$), 使得$|R|\geq9,$ $|B|\geq10,$ 且$R$中最小的$8$个元素之和不小于$R$的最大元, $B$中最小的$9$个元素之和不小于$B$的最大元.
思路(续) 容易说明, 原问题的解恰好等于问题'的解$+1.$
作为一个组合极值问题, 我们当然试图去构造一个极端情形.
比如, 若$R$中包含$1,2,\cdots,8,$ 那么$R$中最大元至多为$36.$ 大于$36$的元素都在$B$中, 因此$B$中的最小$9$个的元素之和至少为$37+38+\cdots+45=369.$ 因此$\max B\leq 369,$ 于是自然有一个$k=369$情形的构造：$R=\{1,2,\cdots,36\},$ $B=\{37,38,\cdots,369\}.$
反过来, 若$B$中包含$1,2,\cdots,9,$ 那么$R$中最大元至多为$45.$ 大于$46$的元素都在$R$中, 因此$R$中的最小$8$个的元素之和至少为$46+47+\cdots+53=396.$ 因此$\max R\leq 396,$ 于是自然有一个$k=396$情形的构造：$R=\{46,47,\cdots,396\},$ $B=\{1,2,\cdots,45\}.$
这至少说明$k=396$是可以取到的, 即$k_{\max}\geq396.$ (虽然, 很不幸, $k_{\max}$并不为$396.$)
我们可能会尝试其他构造, 并且会发现, 那些$k\approx 396$的构造里, 其中较大的数, 要么都在$R$中, 要么都在$B$中. 这是因为要么$R$中最小的$8$个元素之和比较小, 要么$B$中最小的$9$个元素之和, 它们“阻碍”了对应集合有更大的元素.
这样的性质让我们注意到一个重要的事实：$\{1,2,\cdots,16\}$中, 要么包含$R$中最小的$8$个元素, 要么包含$B$中最小的$9$个元素, 这也是必然会有个集合的最大元会被限制在一个远小于$396$的范围内的原因.
下面我们来分类讨论.
$1^{\circ}$ $\{1,2,\cdots,16\}$包含$R$中最小的$8$个元素, 不妨设这$8$个元素从小至大为$z_1,z_2,\cdots,z_8,$ 其中$8\leq z_8\leq16.$ 那么$\max R\leq z_1+z_2+\cdots+z_8.$ 这时候只能寄希望于$B$中的最大元.
此时$\{1,2,\cdots,z_8\}$中包含$R$中最小的$8$个元素, 与$B$中最小的$z_8-8$个元素. 那么$B$中最小的$9$个元素中较大的$17-z_8$个元素最大应能取到\begin{align*} z_1+z_2+\cdots+z_8+1, z_1+z_2+\cdots+z_8+2, \cdots, z_1+z_2+\cdots+z_8+(17-z_8) \end{align*} 而$B$中最小的$z_8-8$个元素之和为$1+2+\cdots+z_8-(z_1+z_2+\cdots+z_8).$ 于是我们能得到$\max B$上界的一个估计.
此时有\begin{align*} k\leq& 1+2+\cdots+z_8-(z_1+z_2+\cdots+z_8)+(z_1+z_2+\cdots+z_8+1)\\&+ (z_1+z_2+\cdots+z_8+2)+ \cdots+ (z_1+z_2+\cdots+z_8+(17-z_8))\\ =&\dfrac{z_8(1+z_8)}{2}+(16-z_8)(z_1+z_2+\cdots+z_8)+\dfrac{(18-z_8)(17-z_8)}{2} \end{align*} 这时很希望能放缩到仅含单变元$z_8$的形式, 目测能化到一个开口朝下的二次函数.
而$z_1+z_2+\cdots+z_8$平凡地可以放缩为$$z_1+z_2+\cdots+z_8\leq(z_8-7)+(z_8-6)+\cdots+(z_8-1)+z_8=8z_8-28.$$ 因此, \begin{align*} k\leq& \dfrac{z_8(1+z_8)}{2}+(16-z_8)(8z_8-28)+\dfrac{(18-z_8)(17-z_8)}{2}=-7z_8^2+139z_8-295. \end{align*} 因为整数$10$离抛物线对称轴最近, 所以$k\leq -7\times10^2+139\times 10-295=395.$ 这是$1^{\circ}$中能得到的$k$的一个上界, 也是所有情况中$\max B$上界的估计.
$1^{\circ}$的放缩的思路非常顺利, 我们再考虑第二种情况.
$2^{\circ}$ $\{1,2,\cdots,16\}$包含$B$中最小的$9$个元素. 不妨设这$9$个元素从小至大为$w_1,w_2,\cdots,w_9,$ 其中$9\leq w_9\leq16.$ 利用和$1^{\circ}$类似的方法, 我们可以放缩得到 \begin{align*} k\leq& \dfrac{w_9(1+w_9)}{2}+(16-w_9)(9w_9-36)+\dfrac{(18-w_9)(17-w_9)}{2}=-8w_9^2+163w_9-423. \end{align*} 因为整数$10$离抛物线对称轴最近, 所以$k\leq -8\times10^2+163\times 10-423=407.$ 这是$2^{\circ}$中能得到的$k$的一个上界, 也是所有情况中$\max R$上界的估计.
因为$407>396,$ 因此我们自然地利用取等条件看看能否取到$k=407.$
这就要求$w_9=10,$ $w_1=w_9-8=2,$ $w_2=w_9-7=3,$ $\cdots,$ $w_8=w_9-1=9.$ $\max B=w_1+w_2+\cdots+w_9=54.$ $R$中最小$8$个元素为$1,55,56,\cdots,61,$ 此时取$\max R=1+55+56+\cdots+61=407.$ 因此构造即为$B=\{2,3,\cdots,54\},$ $R=\{1,55,56,\cdots,407\}.$ 显然符合题意.
这里的构造和前面的证明思路表明问题'中, $k_{\max}=407.$ 因此原问题中$k_{\min}=408.$
思路 我们自然考虑问题的反面.
问题' 求具有下述性质的最大正整数$k$：对于集合$[k]=\{1,2,\cdots,k\},$ 存在它的无交划分$R,B$(即满足$R\cap B=\varnothing,$ $R\cup B=[k]$), 使得$|R|\geq9,$ $|B|\geq10,$ 且$R$中最小的$8$个元素之和不小于$R$的最大元, $B$中最小的$9$个元素之和不小于$B$的最大元.
思路(续) 容易说明, 原问题的解恰好等于问题'的解$+1.$
作为一个组合极值问题, 我们当然试图去构造一个极端情形.
比如, 若$R$中包含$1,2,\cdots,8,$ 那么$R$中最大元至多为$36.$ 大于$36$的元素都在$B$中, 因此$B$中的最小$9$个的元素之和至少为$37+38+\cdots+45=369.$ 因此$\max B\leq 369,$ 于是自然有一个$k=369$情形的构造：$R=\{1,2,\cdots,36\},$ $B=\{37,38,\cdots,369\}.$
反过来, 若$B$中包含$1,2,\cdots,9,$ 那么$R$中最大元至多为$45.$ 大于$46$的元素都在$R$中, 因此$R$中的最小$8$个的元素之和至少为$46+47+\cdots+53=396.$ 因此$\max R\leq 396,$ 于是自然有一个$k=396$情形的构造：$R=\{46,47,\cdots,396\},$ $B=\{1,2,\cdots,45\}.$
这至少说明$k=396$是可以取到的, 即$k_{\max}\geq396.$ (虽然, 很不幸, $k_{\max}$并不为$396.$)
我们可能会尝试其他构造, 并且会发现, 那些$k\approx 396$的构造里, 其中较大的数, 要么都在$R$中, 要么都在$B$中. 这是因为要么$R$中最小的$8$个元素之和比较小, 要么$B$中最小的$9$个元素之和, 它们“阻碍”了对应集合有更大的元素.
这样的性质让我们注意到一个重要的事实：$\{1,2,\cdots,16\}$中, 要么包含$R$中最小的$8$个元素, 要么包含$B$中最小的$9$个元素, 这也是必然会有个集合的最大元会被限制在一个远小于$396$的范围内的原因.
下面我们来分类讨论.
$1^{\circ}$ $\{1,2,\cdots,16\}$包含$R$中最小的$8$个元素, 不妨设这$8$个元素从小至大为$z_1,z_2,\cdots,z_8,$ 其中$8\leq z_8\leq16.$ 那么$\max R\leq z_1+z_2+\cdots+z_8.$ 这时候只能寄希望于$B$中的最大元.
此时$\{1,2,\cdots,z_8\}$中包含$R$中最小的$8$个元素, 与$B$中最小的$z_8-8$个元素. 那么$B$中最小的$9$个元素中较大的$17-z_8$个元素最大应能取到\begin{align*} z_1+z_2+\cdots+z_8+1, z_1+z_2+\cdots+z_8+2, \cdots, z_1+z_2+\cdots+z_8+(17-z_8) \end{align*} 而$B$中最小的$z_8-8$个元素之和为$1+2+\cdots+z_8-(z_1+z_2+\cdots+z_8).$ 于是我们能得到$\max B$上界的一个估计.
此时有\begin{align*} k\leq& 1+2+\cdots+z_8-(z_1+z_2+\cdots+z_8)+(z_1+z_2+\cdots+z_8+1)\\&+ (z_1+z_2+\cdots+z_8+2)+ \cdots+ (z_1+z_2+\cdots+z_8+(17-z_8))\\ =&\dfrac{z_8(1+z_8)}{2}+(16-z_8)(z_1+z_2+\cdots+z_8)+\dfrac{(18-z_8)(17-z_8)}{2} \end{align*} 这时很希望能放缩到仅含单变元$z_8$的形式, 目测能化到一个开口朝下的二次函数.
而$z_1+z_2+\cdots+z_8$平凡地可以放缩为$$z_1+z_2+\cdots+z_8\leq(z_8-7)+(z_8-6)+\cdots+(z_8-1)+z_8=8z_8-28.$$ 因此, \begin{align*} k\leq& \dfrac{z_8(1+z_8)}{2}+(16-z_8)(8z_8-28)+\dfrac{(18-z_8)(17-z_8)}{2}=-7z_8^2+139z_8-295. \end{align*} 因为整数$10$离抛物线对称轴最近, 所以$k\leq -7\times10^2+139\times 10-295=395.$ 这是$1^{\circ}$中能得到的$k$的一个上界, 也是所有情况中$\max B$上界的估计.
$1^{\circ}$的放缩的思路非常顺利, 我们再考虑第二种情况.
$2^{\circ}$ $\{1,2,\cdots,16\}$包含$B$中最小的$9$个元素. 不妨设这$9$个元素从小至大为$w_1,w_2,\cdots,w_9,$ 其中$9\leq w_9\leq16.$ 利用和$1^{\circ}$类似的方法, 我们可以放缩得到 \begin{align*} k\leq& \dfrac{w_9(1+w_9)}{2}+(16-w_9)(9w_9-36)+\dfrac{(18-w_9)(17-w_9)}{2}=-8w_9^2+163w_9-423. \end{align*} 因为整数$10$离抛物线对称轴最近, 所以$k\leq -8\times10^2+163\times 10-423=407.$ 这是$2^{\circ}$中能得到的$k$的一个上界, 也是所有情况中$\max R$上界的估计.
因为$407>396,$ 因此我们自然地利用取等条件看看能否取到$k=407.$
这就要求$w_9=10,$ $w_1=w_9-8=2,$ $w_2=w_9-7=3,$ $\cdots,$ $w_8=w_9-1=9.$ $\max B=w_1+w_2+\cdots+w_9=54.$ $R$中最小$8$个元素为$1,55,56,\cdots,61,$ 此时取$\max R=1+55+56+\cdots+61=407.$ 因此构造即为$B=\{2,3,\cdots,54\},$ $R=\{1,55,56,\cdots,407\}.$ 显然符合题意.
这里的构造和前面的证明思路表明问题'中, $k_{\max}=407.$ 因此原问题中$k_{\min}=408.$
