2023年全国高中数学联合竞赛B卷加试P2：A卷P3的低级版本
题目 设$m,n$是给定的整数, $m\geq n\geq3.$ 求具有下述性质的最小正整数$k$：若将$1,2,\cdots,k$中的每个数任意染为红色或者蓝色, 则或者存在$m$个红色的数$x_1,x_2,\cdots,x_m$(允许相同), 满足$x_1+x_2+\cdots+x_{m-1} < x_m,$ 或者存在$n$个蓝色的数$y_1,y_2,\cdots,y_{n}$(允许相同), 满足$y_1+y_2+\cdots+y_{n-1} < y_{n}.$
解 $k_{\min}=mn-n+1.$
一方面, 当$k=mn-n$时, 将$1,2,\cdots,n-1$染为蓝色, $n,n+1,n+2,\cdots,n(m-1)$染为红色, 易见不存在符合要求的若干数. 因此$k\geq mn-n+1.$
另一方面, 当$k=mn-n+1$时, 假设存在染色使得无法找到符合要求的若干数, 设红色数构成的集合$S,$ 蓝色数构成的集合$T,$ 则$(m-1)\min S\geq \max S,$ 而$(n-1)\min T\geq \max T.$
若$1\in T,$ 则$\min T=1,$ 则$\max T\leq (n-1)\min T=n-1 < k,$ 故$\min S\leq n,$ 故$\max S\leq(m-1)\min S\leq(m-1)n < k,$ 则$k\notin S\cup T.$ 矛盾.
若$1\in S,$ 则$\min S=1,$ 则$\max S\leq (m-1)\min S=m-1 < k,$ 故$\min T\leq m,$ 故$\max T\leq(n-1)\min T\leq(n-1)m < k,$ 则$k\notin S\cup T.$ 矛盾.
综上所述, $k_{\min}=mn-n+1.$
解 $k_{\min}=mn-n+1.$
一方面, 当$k=mn-n$时, 将$1,2,\cdots,n-1$染为蓝色, $n,n+1,n+2,\cdots,n(m-1)$染为红色, 易见不存在符合要求的若干数. 因此$k\geq mn-n+1.$
另一方面, 当$k=mn-n+1$时, 假设存在染色使得无法找到符合要求的若干数, 设红色数构成的集合$S,$ 蓝色数构成的集合$T,$ 则$(m-1)\min S\geq \max S,$ 而$(n-1)\min T\geq \max T.$
若$1\in T,$ 则$\min T=1,$ 则$\max T\leq (n-1)\min T=n-1 < k,$ 故$\min S\leq n,$ 故$\max S\leq(m-1)\min S\leq(m-1)n < k,$ 则$k\notin S\cup T.$ 矛盾.
若$1\in S,$ 则$\min S=1,$ 则$\max S\leq (m-1)\min S=m-1 < k,$ 故$\min T\leq m,$ 故$\max T\leq(n-1)\min T\leq(n-1)m < k,$ 则$k\notin S\cup T.$ 矛盾.
综上所述, $k_{\min}=mn-n+1.$
