摘要：题目 求最大的实数$\alpha$, 使得对于任意非负实数$x,y,z,$ 下面的不等式恒成立： \begin{align*} (x+y+z)^3+\alpha(x^2z+y^2x+z^2y)\geq\alpha(x^2y+y^2z+z^2x).\end{align*} 解 $\alpha_{\ma 阅读全文

摘要：题目 已知整数$n\geq2$, 实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$满足 $x_1+x_2+\cdots+x_n=0,$ 且 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1.$ 对每个集合$A\subseteq\{1, 2, \cdots, n\}$, 定义$\display 阅读全文

摘要：题目 求最小的实常数$C,$ 使得对于任意实数$X,Y,$ 不等式 \[(X+Y)^2(X^2+Y^2+C)+(1-XY)^2 \ge 0\]恒成立. 并求出$C$取最小值时, 使得等号成立的实数$X$和$Y$的值. 思路 不等式比较明显地能够写成参变量分离的形式. 因为$X+Y=0$时, $XY$ 阅读全文

摘要：题目 设非负实数$a_1,a_2,\cdots,a_{2023}$满足$a_1+a_2+\cdots+a_{2023}=100.$ 定义$N$为集合$$S=\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}$$的元素个数. 求证：$N\leq 5050,$ 并给 阅读全文