2023年中国数学奥林匹克P4：水题, 但我没做出来
题目 设非负实数$a_1,a_2,\cdots,a_{2023}$满足$a_1+a_2+\cdots+a_{2023}=100.$ 定义$N$为集合$$S=\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}$$的元素个数. 求证：$N\leq 5050,$ 并给出等号成立的充要条件.
证明 因为有\begin{align*} 2N=&|\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}|+|\{(i,j)|1\leq j\leq i\leq 2023,a_ia_j\geq1\}|\\&=|\{(i,j)|1\leq i, j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}|+|\{i|1\leq i\leq 2023,a_i^2\geq1\}|\\=&\sum_{1\leq i,j\leq 2023, a_ia_j\geq1}1+\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}1\\\leq&\sum_{1\leq i,j\leq 2023, a_ia_j\geq1}a_ia_j+\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}a_i\\\leq&\sum_{1\leq i,j\leq 2023}a_ia_j+\sum_{1\leq i\leq 2023}a_i=\left(\sum_{i=1}^{2023}a_i\right)^2+\sum_{i=1}^{2023}a_i=10100. \end{align*} 故$N\leq 5050.$ 取等号的必要条件是$\displaystyle{\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}1=\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}a_i=\sum_{1\leq i\leq 2023}a_i}.$ 因此对任意$1\leq i\leq 2023,$ $a_i=1$或$0.$ 因此$a_1,\cdots,a_{2023}$中有$100$个$1,$ $1923$个$0.$ 易知这样可以使得等号成立.
证明 因为有\begin{align*} 2N=&|\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}|+|\{(i,j)|1\leq j\leq i\leq 2023,a_ia_j\geq1\}|\\&=|\{(i,j)|1\leq i, j\leq 2023,a_ia_j\geq1\}|+|\{i|1\leq i\leq 2023,a_i^2\geq1\}|\\=&\sum_{1\leq i,j\leq 2023, a_ia_j\geq1}1+\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}1\\\leq&\sum_{1\leq i,j\leq 2023, a_ia_j\geq1}a_ia_j+\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}a_i\\\leq&\sum_{1\leq i,j\leq 2023}a_ia_j+\sum_{1\leq i\leq 2023}a_i=\left(\sum_{i=1}^{2023}a_i\right)^2+\sum_{i=1}^{2023}a_i=10100. \end{align*} 故$N\leq 5050.$ 取等号的必要条件是$\displaystyle{\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}1=\sum_{1\leq i\leq 2023, a_i\geq1}a_i=\sum_{1\leq i\leq 2023}a_i}.$ 因此对任意$1\leq i\leq 2023,$ $a_i=1$或$0.$ 因此$a_1,\cdots,a_{2023}$中有$100$个$1,$ $1923$个$0.$ 易知这样可以使得等号成立.
