数据结构期末复习（1）树
目录
求叶子结点的个数
二叉树的存储
二叉树的遍历
1、广度优先遍历（层次遍历）vs 深度优先遍历
2、先序 vs 中序 vs 后序遍历（属于深度优先遍历）
2.1 由中序+先序/后序推出二叉树
2.2 由二叉树推出先序/中序/后序遍历的顺序
3、二叉树的递归遍历 vs 非递归遍历 ？
https://blog.csdn.net/qq_23009153/article/details/78269520
将树转换为二叉树
特殊的二叉树类型：
哈夫曼树/最优二叉树
满二叉树vs完全二叉树
二叉排序树/二叉搜索树/二叉查找树
线索二叉树
最小生成树
求叶子结点的个数
一定要记住的两条公式：
①N=n0+n1+n2+...
②N=0*n0+1*n1+2*n2+...+1
（其中，N为结点数总数；n0为度为0的结点数，即叶子结点；n1位度为1的结点数，以此类推...）
eg.
【补充】
度：节点所拥有的子树的数目称为该节点的度
二叉树的遍历
带权无向图Ｇ（顶点分别为Ｖ１，Ｖ２，Ｖ３，Ｖ４，Ｖ５，Ｖ６）的邻接矩阵是Ａ
要求： （１）画出图Ｇ
注意：无向图的邻接矩阵是对称的，因此如果要根据邻接矩阵画图，可以直接只看上三角或下三角（不然很浪费时间）
（２）分别写出从Ｖ１出发的深度优先遍历序列和广度优先遍历序列。
深度:1,2,3,4,6,5
广度:1,2,5,6,3,4
解释：
（1）求深度
设从结点v1出发，一直沿着所连的路走下去即可：v1→v2→v3→v4→v6→v5
*假设图中v2除了与v1相连外，不再与图中其他结点相连怎么办？
A：直接从v2返回到v1，再从v1开始对其他结点的遍历（v2只要能遍历到就可以了）
（2）求广度
求广度遍历的次序,实质上是看一个结点与哪些结点相连。
设从结点v1出发 → 相当于先访问了v1，
v1与v2、v5、v6相连 → 于是在访问v1后，会先遍历到v2、v5、v6
然后看v2、v5、v6分别与哪些结点直接相连：
v2：与v1，v3，v6相连，其中v3还没有被访问过 → 遍历v3
v5：与v1，v6相连，都被访问过了
v6：与v1，v4，v5相连，其中v4还没有被访问过 → 遍历v4
最终的广度优先遍历次序：v1 v2 v5 v6 v3 v4
哈夫曼树 / 最优二叉树
【哈夫曼树的构造】——权值从小到大排序，两两组合权值最小值，直到组成一棵二叉树
https://blog.csdn.net/yushupan/article/details/82735773
【求哈夫曼树的带权路径】——权值W = 各叶子结点权值*距离根节点的距离 之和（需要计算的权值点不包括中途生成的权值之和，即所有的父节点）
https://www.jianshu.com/p/35cf51516fe5
哈夫曼树的结点数关系：
由于哈夫曼树中没有度为1的结点。 只有度为0和度为2的结点。（树中的度：表示有几个孩子）
则一棵有n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点。
eg.以数据集{4,5,6,7,10,12,18}为叶结点权值所构造的哈夫曼树,其带权路径长度为(165 )。
A：
带权路径长度：（4+5）*4+（6+7）*3+10*3+12*2+18*2=165
（再次强调——带权路径长度：只算叶子结点！）
哈夫曼编码
描述的是到达哈夫曼树中的一个元素所需要走的路径。其中，0表示向树的左儿子方向移动，1表示向树的右儿子方向移动。
eg.
哈夫曼树如下图所示：
各个电文对应的频文就是哈夫曼树中需要找的结点
A：17
分析过程：
从100开始左行到60→0
从60开始左行到28→0
从28开始右行到17→1
所以A的哈夫曼编码为：001
其余频文同理。
eg.
（下面这个解释我也不太确定对不对，感觉如此？）
↑特别注意：
哈夫曼树中得到的结点权值之和不能和其他的结点（即不是权值之和的结点）再次组合成权值之和
具体到本题来说：本题中5和10得到15，而本来权值中也有15，这怎么办呢？
5和10得到的15属于权值之和，这个权值之和应该与另一个权值之和组合
而原来权值中就有的15要与12组合
二叉树的存储结构
（1）顺序存储
（2）链表存储
一棵有n个结点的二叉树，除了根结点之外，其余每个结点均有一个出自其双亲的指针域的指向该结点的指针，
因此，共有n-1个指针域非空。
指针域的总数目为2n，所以恰好有n+1个空指针域。
满二叉树＆完全二叉树
满二叉树是特殊的二叉树
二叉树的遍历
前序遍历
中序遍历
后序遍历
（补充mooc图）
//仅提供前序和后续遍历的序列是不能反推出二叉树的
（未完待续）
二叉排序树
二叉排序树的构建步骤：
将关键字集合中的第一个作为整个二叉排序树的根节点
取第2个关键字，如果它比根节点大，则作为根节点的右孩子；如果比根节点小，就作为根节点的左孩子；
……（后序步骤同上）
（图的）最小生成树
相关知识点：Prim算法、Kruskal算法
此部分请看↓
https://www.cnblogs.com/HelenBlog/p/13111671.html
留一道例题：
将树转化为二叉树
（1）加线。在所有兄弟结点之间加一条连线。
（2）去线。树中的每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除它与其它孩子结点之间的连线。
（3）层次调整。以树的根节点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定角度，使之结构层次分明。
（注意：第一个孩子是结点的左孩子，兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子）
（注意：如果有结点只有一个孩子结点，则在转化为二叉树时，这个孩子结点将变为此节点的左孩子结点）
将森林转化为二叉树
（1）把每棵树转换为二叉树。
（2）第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连接起来。
eg.
把下列森林转换为二叉树（写出过程）
A：
二叉树转换为森林（感觉这个考的较少）
假如一棵二叉树的根节点有右孩子，则这棵二叉树能够转换为森林，否则将转换为一棵树。
（1）从根节点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除。再查看分离后的二叉树，若其根节点的右孩子存在，则连线删除…。直到所有这些根节点与右孩子的连线都删除为止。
（2）将每棵分离后的二叉树转换为树。
（见图：将同时有左右孩子的结点的右孩子结点的连线删去，再直接将孩子结点们（兄弟）相连，就可以将森林转化为树）
最小生成树
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。（n个结点，n-1条边）
具体请看期末复习笔记（2）图：https://www.cnblogs.com/HelenBlog/p/13111671.html
（涉及Prim算法和Kruskal算法）
二叉排序树（二叉查找树、二叉搜索树）BST
二叉查找树：
根节点的值大于其左子树中任意一个节点的值，小于其右节点中任意一节点的值，这一规则适用于二叉查找树中的每一个节点。
（或者是一棵空树）
参考：https://blog.csdn.net/rodman177/article/details/89771156
二叉搜索树作为一种经典的数据结构，它既有链表的快速插入与删除操作的特点，又有数组快速查找的优势
二叉搜索树能够高效地进行如下操作：
1.插入一个数值
2.查询是否包含某个数值
3.删除某个数值
不论哪一种操作，所花的时间都和树的高度成正比。因此，如果共有n个元素，那么平均每次操作需要O(logn)的时间。
平衡二叉树（AVL树）
平衡二叉树也是一种搜索树。
（即左子树比根节点小，右子树比根节点大）
（总结点数=左儿子结点数+右儿子结点数+1）
将二叉树调整为平衡二叉树：
https://www.bilibili.com/video/BV1JW411i731?p=44
浙公网安备 33010602011771号