可持久化数据结构

一些需要 历史信息 时，我们可以根据 时间 进行可持久化操作。

1. 可持久化线段树

见 1。

3. 可持久化 Trie

和可持久化线段树一样的思想，没插入一个数，新建 \(\log{V}\) 个节点，剩下的节点向 已有节点 相连即可。

I P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子

可持久化 Trie 后我们考虑每个节点 \(i\)，建立一个大根堆，存 \(n\) 个节点除选过的，\(s_i\) 与其余点的最大值，每次选出堆顶，更新一下即可。

复杂度 \(\mathcal{O}(n\log{V} + k\log{n})\)。

代码

II CF241B Friends
上一题的加强。

\(k\) 比较大，不考虑关于 \(k\) 的解法。

首先可以二分，二分 \(mid\)，我们求出所有与 \(s_i\) 异或值 \(\geq mid\) 的个数，可持久化 Trie 可以解决，判断一下，可以找到第 \(k\) 大的异或值。具体在每个节点有一个 \(size\) 存其字节点个数，查询时找出 \(\geq mid\) 的点加上即可。

然后问题就转化成了找出与 \(s_i\) 异或值 \(\geq z\) 的值的和，我们在 Trie 上存储所有字节点的 \(01\) 个数，拆一下贡献，查询时加上即可。

但是由于 异或和等于 \(z\) 的方案可能不止一个，所以我们需要统计一下方案数，减去多余的贡献。

时间复杂度都是 \(\mathcal{O}(n\log^2{V})\)，空间复杂度也是 \(\mathcal{O}(n\log^2{V})\) ，可能需要卡卡。

复杂度极其劣，跑的巨慢，其实可以直接不用可持久化，不过我没想到。

代码

III P3586 [POI2015] LOG

树剖比较 native，我们考虑分成两个 可持久化 Trie，一个维护 \(dfn\) 序，一个维护到根路径，这样求个 \(LCA\)，查询一下，复杂度时 \(\mathcal{O}(n\log{V} + m\log{n})\)。

代码