数据结构选练

数据结构题目练习。

I P10690 Fotile 模拟赛 L

首先有显然的 可持久化 Trie，但是暴力是 \(\mathcal{O}(nm\log{V})\)，找不到奇妙东西维护，我们就 大力分块，设块长为 \(B\)，则我们预处理 \(pre_{i,j}\) 表示从第 \(i\) 块开头到 \(j\) 点的最大异或和，复杂度 \(\mathcal{O}(\frac {n^2} B\log{V})\)，查询中，对于整块直接拿，对于散块，我们暴力查询，复杂度 \(\mathcal{O}(nB\log{V})\)。

总复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n}\log{V})\)。

代码

II P4587 [FJOI2016] 神秘数

首先我们考虑神秘数的性质，一个集合 \(S\)，我们将其排序后从小到大枚举，假设当前神秘数为 \(now\)，上次神秘数为 \(last\) (若没有则为 \(0\))，当前枚举值为 \(val\)，则相当于所有值都可以向右平移一段 \(val\) 的区间。

• 若 \(last + 1 \leq val \leq now + 1\)，则平移后的区间可以覆盖到 \(now\)，则应该使 \(now \gets now + val\)。
• 否则，平移后的区间一定不可以覆盖到 \(now\)，且 \(S\) 集合剩余值也不可以，直接结束即可。

上述复杂度是 \(\log({\sum{S}})\) 的。

证明：若 \(last + 1 \leq val \leq now + 1\)，则会使 \(now\) 至少加 \(last\)，则相当于 \(now\) 每次扩大 两倍，即复杂度为 \(\log{(\sum S)}\)。

查询区间 \([l,r]\) 且值域在 \([v,u]\) 之间的权值和，可用主席树解决。

复杂度 \(\mathcal{O}(n\log{n}\log{(\sum {a_i})})\)。

代码

III P3247 [HNOI2016] 最小公倍数

首先可以不是简单路径，这启示我们用并查集，但 \(a,b\) 的二维限制有些不可做，我们可以先想暴力，对于每个询问只需将所有 \(a_i \leq a\) 且 \(b_i \leq b\) 的所有边加入并查集，并维护最大 \(a,b\) 值，判断 \(u,v\) 是否在一个联通块内，且最大值即为 \(a,b\)，这样可以 \(\mathcal{O}(mq\log{n})\)。

限制太特殊了，我们考虑分块，首先将所有边按照 \(a\) 排序后分块，每个询问离线下来后把其放到尽量右块内，使所有其左边的块的 \(a\) 值都小于等于它，然后我们枚举每个块，将该块询问先按照 \(b\) 排序，再将前面的块按照 \(b\) 排序，双指针加边即可。

对于在该块内的边，我们暴力枚举加边，枚举后撤销这些操作，所以 并查集不能路径压缩，只能按秩合并。

复杂度 \(\mathcal{O}(qB\log{n} + \frac {m^2} B \log{n})\)，取 \(B = \sqrt{m}\) 得复杂度为 \(\mathcal{O}((q + m)\sqrt{m}\log{n})\)。

但是貌似 \(B = \sqrt{m\log{n}}\) 跑的最快 : )。

代码

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