（转）聚类算法——K-means（上/下）

聚类算法——K-means（上）

　　首先要来了解的一个概念就是聚类，简单地说就是把相似的东西分到一组，同 Classification (分类)不同，对于一个 classifier ，通常需要你告诉它“这个东西被分为某某类”这样一些例子，理想情况下，一个 classifier 会从它得到的训练集中进行“学习”，从而具备对未知数据进行分类的能力，这种提供训练数据的过程通常叫做 supervised learning (监督学习)，而在聚类的时候，我们并不关心某一类是什么，我们需要实现的目标只是把相似的东西聚到一起，因此，一个聚类算法通常只需要知道如何计算相似度就可以开始工作了，因此 clustering 通常并不需要使用训练数据进行学习，这在 Machine Learning 中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。

　　我们经常接触到的聚类分析，一般都是数值聚类，一种常见的做法是同时提取 N 种特征，将它们放在一起组成一个 N 维向量，从而得到一个从原始数据集合到 N 维向量空间的映射——你总是需要显式地或者隐式地完成这样一个过程，然后基于某种规则进行分类，在该规则下，同组分类具有最大的相似性。

　　假设我们提取到原始数据的集合为(x₁, x₂, …, x_n)，并且每个xi为d维的向量，K-means聚类的目的就是，在给定分类组数k（k ≤ n）值的条件下，将原始数据分成k类
S = {S₁, S₂, …, S_k}，在数值模型上，即对以下表达式求最小值：
$\underset{\mathbf{S}} {\operatorname{arg\,min}} \sum_{i=1}^{k} \sum_{\mathbf x_j \in S_i} \left\| \mathbf x_j - \boldsymbol\mu_i \right\|^2$
这里μ_i 表示分类S_i的平均值。

　　那么在计算机编程中，其又是如何实现的呢？其算法步骤一般如下：

1、从D中随机取k个元素，作为k个簇的各自的中心。

2、分别计算剩下的元素到k个簇中心的相异度，将这些元素分别划归到相异度最低的簇。

3、根据聚类结果，重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中所有元素各自维度的算术平均数。

4、将D中全部元素按照新的中心重新聚类。

5、重复第4步，直到聚类结果不再变化。

6、将结果输出。

　　用数学表达式来说，

设我们一共有 N 个数据点需要分为 K 个 cluster ，k-means 要做的就是最小化

$\displaystyle J = \sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K r_{nk} \|x_n-\mu_k\|^2$

这个函数，其中 $r_{nk}$ 在数据点 n 被归类到 cluster k 的时候为 1 ，否则为 0 。直接寻找 $r_{nk}$ 和 $\mu_k$ 来最小化并不容易，不过我们可以采取迭代的办法：先固定 $\mu_k$ ，选择最优的 $r_{nk}$ ，很容易看出，只要将数据点归类到离他最近的那个中心就能保证最小。下一步则固定 $r_{nk}$ ，再求最优的 $\mu_k$ 。将对 $\mu_k$ 求导并令导数等于零，很容易得到最小的时候 $\mu_k$ 应该满足：

$\displaystyle \mu_k=\frac{\sum_n r_{nk}x_n}{\sum_n r_{nk}}$

亦即 $\mu_k$ 的值应当是所有 cluster k 中的数据点的平均值。由于每一次迭代都是取到的最小值，因此只会不断地减小（或者不变），而不会增加，这保证了 k-means 最终会到达一个极小值。虽然 k-means 并不能保证总是能得到全局最优解，但是对于这样的问题，像 k-means 这种复杂度的算法，这样的结果已经是很不错的了。

首先 3 个中心点被随机初始化，所有的数据点都还没有进行聚类，默认全部都标记为红色，如下图所示：

然后进入第一次迭代：按照初始的中心点位置为每个数据点着上颜色，重新计算 3 个中心点，结果如下图所示：

可以看到，由于初始的中心点是随机选的，这样得出来的结果并不是很好，接下来是下一次迭代的结果：

可以看到大致形状已经出来了。再经过两次迭代之后，基本上就收敛了，最终结果如下：

不过正如前面所说的那样 k-means 也并不是万能的，虽然许多时候都能收敛到一个比较好的结果，但是也有运气不好的时候会收敛到一个让人不满意的局部最优解，例如选用下面这几个初始中心点：

最终会收敛到这样的结果：

　　整体来讲，K-means算法的聚类思想比较简单明了，并且聚类效果也还算可以，算是一种简单高效应用广泛的 clustering 方法，接下来，我将讨论其代码实现过程。

聚类算法——K-means（下）

　　K-means的源码实现

　　一般情况下，我们通过C++/Matlab/Python等语言进行实现K-means算法，结合近期我刚刚学的C++，先从C++实现谈起，C++里面我们一般采用的是OpenCV库中写好的K-means函数，即cvKmeans2，首先来看函数原型：
　　从OpenCV manual看到的是：
int cvKMeans2(const CvArr* samples, int nclusters,
　　　　　　　 CvArr* labels, CvTermCriteria termcrit,
　　　　　　　 int attempts=1, CvRNG* rng=0,int flags=0,
　　　　　　　 CvArr* centers=0,double* compactness=0);
由于除去已经确定的参数，我们自己需要输入的为：
void cvKMeans2(
  　　const CvArr* samples, //输入样本的浮点矩阵，每个样本一行。
  　　int cluster_count,  //所给定的聚类数目
   　　* labels,    //输出整数向量：每个样本对应的类别标识
   　　CvTermCriteria termcrit //指定聚类的最大迭代次数和／或精度（两次迭代引起的聚类中心的移动距离）
);
其使用例程为：

 1 #ifdef _CH_
 2 #pragma package <opencv>
 3 #endif
 4 
 5 #define CV_NO_BACKWARD_COMPATIBILITY
 6 
 7 #ifndef _EiC
 8 #include "cv.h"
 9 #include "highgui.h"
10 #include <stdio.h>
11 #endif
12 
13 int main( int argc, char** argv )
14 {
15     #define MAX_CLUSTERS 5    //设置类别的颜色，个数（《=5）
16     CvScalar color_tab[MAX_CLUSTERS];
17     IplImage* img = cvCreateImage( cvSize( 500, 500 ), 8, 3 );
18     CvRNG rng = cvRNG(-1);
19     CvPoint ipt;
20 
21     color_tab[0] = CV_RGB(255,0,0);
22     color_tab[1] = CV_RGB(0,255,0);
23     color_tab[2] = CV_RGB(100,100,255);
24     color_tab[3] = CV_RGB(255,0,255);
25     color_tab[4] = CV_RGB(255,255,0);
26 
27     cvNamedWindow( "clusters", 1 );
28 
29     for(;;)
30     {
31         char key;
32         int k, cluster_count = cvRandInt(&rng)%MAX_CLUSTERS + 1;
33         int i, sample_count = cvRandInt(&rng)%1000 + 1;
34         CvMat* points = cvCreateMat( sample_count, 1, CV_32FC2 );
35         CvMat* clusters = cvCreateMat( sample_count, 1, CV_32SC1 );
36         cluster_count = MIN(cluster_count, sample_count);
37 
38         /** generate random sample from multigaussian distribution */
39         for( k = 0; k < cluster_count; k++ )
40         {
41             CvPoint center;
42             CvMat point_chunk;
43             center.x = cvRandInt(&rng)%img->width;
44             center.y = cvRandInt(&rng)%img->height;
45             cvGetRows( points, &point_chunk, k*sample_count/cluster_count,
46                        k == cluster_count - 1 ? sample_count :
47                        (k+1)*sample_count/cluster_count, 1 );
48 
49             cvRandArr( &rng, &point_chunk, CV_RAND_NORMAL,
50                        cvScalar(center.x,center.y,0,0),
51                        cvScalar(img->width*0.1,img->height*0.1,0,0));
52         }
53 
54         /** shuffle samples */
55         for( i = 0; i < sample_count/2; i++ )
56         {
57             CvPoint2D32f* pt1 = (CvPoint2D32f*)points->data.fl + cvRandInt(&rng)%sample_count;
58             CvPoint2D32f* pt2 = (CvPoint2D32f*)points->data.fl + cvRandInt(&rng)%sample_count;
59             CvPoint2D32f temp;
60             CV_SWAP( *pt1, *pt2, temp );
61         }
62 
63         printf( "iterations=%d\n", cvKMeans2( points, cluster_count, clusters,
64                 cvTermCriteria( CV_TERMCRIT_EPS+CV_TERMCRIT_ITER, 10, 1.0 ),
65                 5, 0, 0, 0, 0 ));
66 
67         cvZero( img );
68 
69         for( i = 0; i < sample_count; i++ )
70         {
71             int cluster_idx = clusters->data.i[i];
72             ipt.x = (int)points->data.fl[i*2];
73             ipt.y = (int)points->data.fl[i*2+1];
74             cvCircle( img, ipt, 2, color_tab[cluster_idx], CV_FILLED, CV_AA, 0 );
75         }
76 
77         cvReleaseMat( &points );
78         cvReleaseMat( &clusters );
79 
80         cvShowImage( "clusters", img );
81 
82         key = (char) cvWaitKey(0);
83         if( key == 27 || key == 'q' || key == 'Q' ) // 'ESC'
84             break;
85     }
86 
87     cvDestroyWindow( "clusters" );
88     return 0;
89 }
90 
91 #ifdef _EiC
92 main(1,"kmeans.c");
93 #endif

posted @ 2016-01-24 01:22 Hand&Head 阅读(131) 评论(0) 收藏举报

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