CF2137F Prefix Maximum Invariance

CF2137F Prefix Maximum Invariance

题意：
给定数组a和b，要求构造一个新数组z，对于所有 \(1 \leq i\leq n\) 满足 \(max(a_1,...,a_i) = max(z_1,...,z_i)\)，即前缀最大值完全相同。定义 \(f(a,b)\) 表示在满足上述条件的z中，能使 \(z_i=b_i\) 的最大数量。求 \(\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n f\left( a[l..r], b[l..r] \right)\) 的结果。

对于子区间答案求和的题目，首先想到枚举左端点或右端点，但这种思路在本题行不通。于是想到对每个位置计算贡献。

对于一个位置 \(i\)，假设左端点 \(l\) 已经固定的情况下，\(z_i\) 的取值有两种情况：

1、\(max[a_l,...,a_{i-1}] < a_i\)，那么 \(a_i\) 一定是这个区间的新的前缀最大值，\(z_i\) 必须等于 \(a_i\)。
2、\(max[a_l,...,a_{i-1}] >= a_i\)，那么 \(a_i\) 不会是新的前缀最大值，\(z_i \leq max[a_l,...,a_i]\) 即可。

考虑有多少个区间 \([l,r]\) 能使 \(z_i=b_i\)。显然右端点的数量是 \(n-i+1\) 个，所以只需要考虑有多少个左端点 \(l\)。

当从左到右枚举 \(i\) 时，假设对于每个 \(1 \leq j \leq i\)，都维护好了数组 \(mx_j\)，表示 \([j,i-1]\) 的最大值。

对于情况1，只需要找到有几个 \(mx_j\)，使得 \(mx_j < a_i\)。

对于情况2，只需要找到有几个 \(mx_j\)，使得 \(mx_j \geq b_i\)。

暴力维护 \(mx\) 和查询是 \(n^2\) 的，但是注意到 \(mx\) 具有单调性。这就意味着，每次更新 \(mx\) 时，需要修改的元素是连续的。所以可以通过单调栈来维护。

情况2的查询只需要在这个单调栈中二分即可。

Code:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;

using ll = long long;

struct node
{
    int mx,l;
};

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n+10),b(n+10);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) cin >> b[i];

    //枚举左右端点做不了，考虑拆位算贡献
    ll ans = 0;
    vector<int> stk; //vector实现栈方便二分
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        while (!stk.empty() && a[stk.back()] < a[i]) stk.pop_back();
        if (a[i] == b[i]) //第1种情况
        {
            if (!stk.empty()) ans += (ll)(i-stk.back()) * (n-i+1);
            else ans += (ll)i * (n-i+1);
        }
        
        int l = -1;
        int r = stk.size();
        while (l+1 != r)
        {
            int mid = (l+r) >> 1;
            if (a[stk[mid]] >= b[i]) l = mid;
            else r = mid;
        }
        
        if (l != -1) ans += (ll)stk[l] * (n-i+1); //第二种情况
        stk.push_back(i);
    }

    cout << ans << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) solve();

    return 0;
}