随笔分类 - A-多项式-生成函数
摘要：题外话 问了下出题人（好像是？），做法跟我差不多，发一下 做法 有， \(f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}(a_i-(j-1))\) 翻转下标：\(g_{i,j}=f_{i,i-j}\)，有， \(g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+g_{i,j}(a_i-(i-j-1
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摘要：题意 给定$n,K$，初始$a_i=i(1\le i\le n)$，每次操作选择两个不同的位置交换。 求$1\le i\le K$，进行恰好$i$次操作的排列的个数。 \(n\le 10^9,K\le 200\) 做法1 有众多的$O(K^3)$做法，这里介绍一个$O(K\log K\log n)$
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摘要：题意 给定$n$及长度为$n$的序列${a_i}$，$a_i$表示有$a_i$个$i$类糖果。 将$\sum a_i$个糖果，排成一个序列（同种糖果没有分别）。 对于某种序列，其权值为将序列看成环，所有极长段长度的乘积。 如${1,1,2,3,4,4,1}$，权值为$3\times 1\times
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摘要：题意 给定$n$及素数$p$ 求所有$n$阶排列的阶的积，在模$p$意义下的值 \(n\le 7500\) 做法一 这里是求积，所以可以单独求每个质因数的幂次 对于素数$p$，其幂次为：\(\sum\limits_{k\ge 1}\#\{f为n阶排列：p^k|ind(f)\}\) 引理1：\(\su
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摘要：题意 给定$n,K$，求从${0,1,\cdots,n-1}$选出$K$个数，和为$n$的倍数的方案数 \(K\le 10^3\) \(n\le 10^9\) 做法 显然有 \(ans=\sum_{i=0}^{\frac{n(n-1)}{2}} [n|i][x^i][y^k]\prod_{j=0}^
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摘要：题意 \(r,n\)，$r\times n$的矩阵合法当且仅当满足 \((1)\)：给定一个正整数$K$，我们说第$j$列稳定$(j\in[1,n))\(，当且仅当\)\forall i\in[1,r],A_{i,j}<A_{i,j+1}$ \((2)\)：每一行是$n$元排列 \((3)\)：若$
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摘要：题意 有一个非负整数$x$。你要执行$m$次操作，每次操作是$x = randint(0, x)$ （ randint(0, x)均匀随机地在$[0,x]$中取一个整数）。 现在已知初始的$x$会随机在$[0,n]$取值，且取$i$的概率是$p_i$，求最后取到$[0,n]$每个数的概率。 $n\l
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摘要：题意 $m$种武器，第$i$种有$a_i$个，贡献为$\in[1,b_i]$，$n$个敌人，每个武器可以选择将贡献分给多个人，每个人都至少被贡献过。 一个方案不同，为某个武器贡献不同，或某个人被贡献的不同。（武器具体贡献给谁其实并不重要） $n\times m\le 10^5$，$a_i\in[1,
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摘要：题意 令无向图中连通块为树的个数为$x$，其权值为$x^k$。给定$n,k$，求所有$n$个点的无向图的权值和 做法 $x^k=\sum S_{k,i}{x\choose i}i!$ 显然$i$只有不大于$k$时才有贡献 那这个组合意义可以理解为，某张图有$x$个树的连通块，选择所有$i$个联通树，
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摘要：题意 有$n$个独立的实数变量，$x_i\in [0,a_i]$，求$E((\sum x_i)^m)$ 做法 考虑组合意义，就是在$x_1,x_2,...,x_n$中有序选择$m$个的乘积之和 $F_i(x)=\sum \frac{1}{a_i}\int_0^{a_i}t^jdt\frac{x^j}
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摘要：题意 $n$个点的无向图，贡献为连通块个数的$m$次方，多次查询$n\le 3\times 10^4,m\le 15$ 做法一 令$\hat {F(x)}$为无向连通图个数$EGF$ 令$\hat {G_m(x)}$为答案的$EGF$ 有：$\hat{G_m(x)}=\sum \frac{\hat{
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摘要：题意 "51nod" 做法 要是想不到树就删号重练吧 令$F_k$为深度不超过$k$的森林个数的EGF 不超过$k$的森林，就是若干棵不超过$k$的树，取掉树的根，就是不超过$k 1$的森林 就有$F_k=e^{xF_{k 1}}$
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摘要：题意 "51nod" 做法 $[l,r]$可以差分，下面考虑表示$[0,N]$内的数 令$d=(A,B)$，$A,B,N$除以$d$对答案是没有影响的 当$(A,B)=1$时，可以表示出来的数可唯一表示成$p\times A+q\times B(p\in [0,B))$ $$Ans=\sum\lim
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摘要：题意 "51nod" 做法 将内部点染色，黑色为交换子树，白色为不动 考虑一种结果的最小表示法，若有左子树，则该点与其颜色相反 这个，感性理解吧... 然后对于内部$n 1$个节点，只有左子树是叶子节点的能自由选择 $h_n=\sum\limits_{i=1}^{n 1}h_i\times h_{n
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摘要：题意 "洛谷" 做法一 对不合法的块数容斥一下，然后把EGF乘起来 填不合法块数的方案数为${n 3i\choose i}$ $O(n^2logn)$ 优化（这种做法网上好像还没有） 倒序枚举块数，四个EGF里面新添加一个单项式，一个一个加进去，则贡献为单项式乘上多项式，这个可以$O(n)$算出来，
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摘要：题意 "洛谷" 做法 令$p=\sum p_i$ 令$f_i$为进行$i$次恰好到达目标状态的方案数，写成EGF的形式： $$\hat {F(x)}=\prod(\frac{e^{(p_i/p)\cdot x+( 1)^{s_i}e^{ (p_i/p)\cdot x}}}{2})$$ 令$g_i$为
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摘要：题意 "loj" 做法 dp出$f_{i,j}$为第$i$棵树划分成$j$条路径的方案数（起点跟终点不同） 这样一种方案就是将每棵树划分成路径，然后全排列，满足相邻两个不属于同一棵树，第一个点是确定的，最后一个点不是第一棵树的 对于除第一棵树以外的树$i$，搞一个指数生成函数： $$\sum\lim
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摘要：题意 求逆序对为$k$的$n$排列中，生成的笛卡尔数，每个位置的深度和。\(n\le 300\) 做法 设$f_$为$n$排列中逆序对为$k$的个数，其生成函数为： \(\prod\limits_{i=0}^{n-1}(\sum\limits_{j=0}^i x^i)\) 把统计深度转换为统计祖先个
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