杂题

题意

令无向图中连通块为树的个数为\(x\)，其权值为\(x^k\)。给定\(n,k\)，求所有\(n\)个点的无向图的权值和

做法

\(x^k=\sum S_{k,i}{x\choose i}i!\)
显然\(i\)只有不大于\(k\)时才有贡献
那这个组合意义可以理解为，某张图有\(x\)个树的连通块，选择所有\(i\)个联通树，贡献为\(S_{k,i}i!\)\((i\le k)\)
令\(f_{i,j}\)为\(j\)个点形成\(j\)个联通树的个数，\(\hat{F_i(x)}=\sum\limits_{j}f_{i,j}\frac{x^j}{j!}\)。令\(G(x)=\sum\limits_{i}i^{i-2}\frac{x^i}{(i-1)!}\)
\(f_{i+1,j}=\sum\limits_{l=1}^j f_{i,j-l}l^{l-2}{j-1\choose l-1}\)

\(ans=\sum\sum {n\choose j}\times f_{i,j}\times S_{k,i}\times i!\times 2^{{n-j\choose 2}}\)