随笔分类 - 学术向
摘要：![[安乐椅#10] 六小函数](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202302/2866421-20230211104645788-2027585960.png)
1. $f(x)=xe^x$ 定义域 $\mathbf{R}$ 单增区间 $(-1,+\infty]$，单减区间 $[-\infty,-1)$. 极（最）小值点 $(-1,-\dfrac{1}{e})$ 2. $f(x)=x\operatorname{ln}x$ 定义域 $\mathbf{R}^+$
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1. $f(x)=xe^x$ 定义域 $\mathbf{R}$ 单增区间 $(-1,+\infty]$，单减区间 $[-\infty,-1)$. 极（最）小值点 $(-1,-\dfrac{1}{e})$ 2. $f(x)=x\operatorname{ln}x$ 定义域 $\mathbf{R}^+$
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摘要：
by Skull & S. & Fred & Gokix 一. 手电筒反射面与二元抛物面 前置知识：二元抛物面。 二元抛物面的解析式为：$2pz=x^2+y^2$。其相当于一条抛物线绕其对称轴旋转一周后形成的图形。相应的，其有一条性质：任意过二元抛物面对称轴的平面与二元抛物面的交线是抛物线。 如图为
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by Skull & S. & Fred & Gokix 一. 手电筒反射面与二元抛物面 前置知识：二元抛物面。 二元抛物面的解析式为：$2pz=x^2+y^2$。其相当于一条抛物线绕其对称轴旋转一周后形成的图形。相应的，其有一条性质：任意过二元抛物面对称轴的平面与二元抛物面的交线是抛物线。 如图为
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摘要：![[安乐椅#9] 常见裂项](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202212/2866421-20221207171146953-1694275088.png)
1. 根式裂项 $\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 2. 分数裂项 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ 3. 三元分数裂项 $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}
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1. 根式裂项 $\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 2. 分数裂项 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ 3. 三元分数裂项 $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}
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摘要：![[安乐椅#8] 依神效应](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202212/2866421-20221204223733173-956956697.png)
对于一个使用理想光源（均匀向四周发射光线的光源）、以二元抛物面为反射面的手电筒，在忽略其余光学原件对光路产生的影响的情况下，当光源低于焦点一定距离时，会在出射光边缘形成一个亮光圈。 （注：图中光圈的成因不是依神效应，但其现象是类似的） 出现这个效应的原理是：在抛物面内多次反射次数越多的光越趋向于在抛
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对于一个使用理想光源（均匀向四周发射光线的光源）、以二元抛物面为反射面的手电筒，在忽略其余光学原件对光路产生的影响的情况下，当光源低于焦点一定距离时，会在出射光边缘形成一个亮光圈。 （注：图中光圈的成因不是依神效应，但其现象是类似的） 出现这个效应的原理是：在抛物面内多次反射次数越多的光越趋向于在抛
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摘要：![[安乐椅#7] 二元抛物面反射光](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202211/2866421-20221108114214594-337250518.png)
问题描述：已知二元抛物面 $P:4Fz=x^2 + y^2$，焦点点光源 $Fo(0,0,F)$，反射点 $Li(a,b,c)$，求反射光线。 前置知识：二元函数切面 若二元函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，记 $z_0=f(x_0,y_0)$，则其在 $(x_0,y_
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问题描述：已知二元抛物面 $P:4Fz=x^2 + y^2$，焦点点光源 $Fo(0,0,F)$，反射点 $Li(a,b,c)$，求反射光线。 前置知识：二元函数切面 若二元函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，记 $z_0=f(x_0,y_0)$，则其在 $(x_0,y_
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摘要：![[安乐椅#6] 蛋玛珂结论](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202210/2866421-20221031211845884-1195671376.png)
抛物线 $P: x^2=2py$ 外一点 $A(m,n)$，向 $P$ 引两条切线，切于 $B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$。连 $BC$，过 $A$ 作与 $y$轴平行的直线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，连 $AD$，记 $|AD|=h$。 则有 $$4ph=(x_1-x_2)
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抛物线 $P: x^2=2py$ 外一点 $A(m,n)$，向 $P$ 引两条切线，切于 $B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$。连 $BC$，过 $A$ 作与 $y$轴平行的直线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，连 $AD$，记 $|AD|=h$。 则有 $$4ph=(x_1-x_2)
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摘要：![[安乐椅#5] 一种利用二次曲线系证定点的方法](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202211/2866421-20221104171449534-1786921198.png)
前置知识：二次曲线系 考虑二次曲线 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 只需要平面内 5 个点（任意 3 点不共线）即可唯一确定。所以如果用 4 个点进行限制，放开 1 个自由度，就能表示一类曲线。然后再与已知直线联立，就可以求得一些关系。 常见形式是：在 \(C_1\) 与 \
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前置知识：二次曲线系 考虑二次曲线 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 只需要平面内 5 个点（任意 3 点不共线）即可唯一确定。所以如果用 4 个点进行限制，放开 1 个自由度，就能表示一类曲线。然后再与已知直线联立，就可以求得一些关系。 常见形式是：在 \(C_1\) 与 \
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摘要：![[安乐椅#4] 拉格朗日乘数法](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202210/2866421-20221021211946254-16288913.png)
拉格朗日乘数法可以用于求函数最值，其在目标函数和约束函数比较简单（如多项式函数）时有奇效。但应当注意的是，拉格朗日乘数法好解的题一般不等式或者函数法也很好解，做题时应当将拉格朗日乘数法作为最后底牌，不要轻易使用，先想想有没有更好算的做法。 以二元函数最值为例： 欲求 $f(x,y)$ 的最值，有约束
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拉格朗日乘数法可以用于求函数最值，其在目标函数和约束函数比较简单（如多项式函数）时有奇效。但应当注意的是，拉格朗日乘数法好解的题一般不等式或者函数法也很好解，做题时应当将拉格朗日乘数法作为最后底牌，不要轻易使用，先想想有没有更好算的做法。 以二元函数最值为例： 欲求 $f(x,y)$ 的最值，有约束
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摘要：![[安乐椅#3] 拉尔瓦定理](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202210/2866421-20221019211519526-802002055.png)
已知：抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$，$D(n,0),E(m,0)$ 为其对称轴上两点，$M$ 是 $C$ 上异于原点 $O$ 的一动点，直线 $ME$ 交 $C$ 于 $N$，直线 $MD$ 交 $C$ 于 $P$，直线 $MD$ 交 $C$ 于 $Q$，直线 $PQ$ 交 $C$ 的对
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已知：抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$，$D(n,0),E(m,0)$ 为其对称轴上两点，$M$ 是 $C$ 上异于原点 $O$ 的一动点，直线 $ME$ 交 $C$ 于 $N$，直线 $MD$ 交 $C$ 于 $P$，直线 $MD$ 交 $C$ 于 $Q$，直线 $PQ$ 交 $C$ 的对
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摘要：![[安乐椅#2] 抛物线准线梯形](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202210/2866421-20221016144755453-1601151865.png)
如图，对于抛物线 $\Gamma:y=2px(p>0)$，$F(\frac{x}{2},0)$ 为其焦点，$\delta:x=-\frac{x}{2}$ 为其准线。一过 $F$ 的直线交 $\Gamma$ 于 $P,Q$ 两点。过 $P,Q$ 两点分别向 $\delta$ 作垂，垂足分别为 $A,B
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如图，对于抛物线 $\Gamma:y=2px(p>0)$，$F(\frac{x}{2},0)$ 为其焦点，$\delta:x=-\frac{x}{2}$ 为其准线。一过 $F$ 的直线交 $\Gamma$ 于 $P,Q$ 两点。过 $P,Q$ 两点分别向 $\delta$ 作垂，垂足分别为 $A,B
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摘要：
障碍函数法直接对线性规划标准形式的变式进行操作。 $\max z= \sum\limits_{j=1}^{n} c_j x_j$ $s.t. \begin{cases} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j \le b_j,i=1,2,\dots,m \ x_j \ge 0,j
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障碍函数法直接对线性规划标准形式的变式进行操作。 $\max z= \sum\limits_{j=1}^{n} c_j x_j$ $s.t. \begin{cases} \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j \le b_j,i=1,2,\dots,m \ x_j \ge 0,j
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摘要：
牛顿迭代法 该算法的目标为：对于在 $[a,b]$ 上连续且单调的函数 $f(x)$，求方程 $f(x)=0$ 的近似解。 算法流程 给定 $f(x)$。 初始时由一个相对近似零点 $x_0$ 开始，不断迭代优化。 假设当前近似解为 $x_i$，作过点 $(x_i,f(x,i))$ 关于 $f(x)
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牛顿迭代法 该算法的目标为：对于在 $[a,b]$ 上连续且单调的函数 $f(x)$，求方程 $f(x)=0$ 的近似解。 算法流程 给定 $f(x)$。 初始时由一个相对近似零点 $x_0$ 开始，不断迭代优化。 假设当前近似解为 $x_i$，作过点 $(x_i,f(x,i))$ 关于 $f(x)
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摘要：
P1986 元旦晚会 在长为 $n$ 的 0/1 数轴上有 $n$ 个整点，一开始全部点均为 0。有 $m$ 个要求，形如 $l_i,r_i,w_i$，表示 $l_i$ 到 $r_i$ 的区间和不小于 $w_i$。求最少需要把多少个点变为 1。 显然的贪心结论是：把区间按右端点从小到大排序后，尽可能
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P1986 元旦晚会 在长为 $n$ 的 0/1 数轴上有 $n$ 个整点，一开始全部点均为 0。有 $m$ 个要求，形如 $l_i,r_i,w_i$，表示 $l_i$ 到 $r_i$ 的区间和不小于 $w_i$。求最少需要把多少个点变为 1。 显然的贪心结论是：把区间按右端点从小到大排序后，尽可能
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摘要：
CF1712D 给定一个长为 $n$ 的序列 $a$。定义一个 $n$ 个点的无向完全图，点 $l$ 和点 $r$ 之间的距离为 $\min\limits_{i\in[l,r]}{a_i}$。 可以进行 $k$ 次操作，每次操作可以选定一个 $i$ 并将 $a_i$ 赋值为 $10^9$ 。最大化这
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CF1712D 给定一个长为 $n$ 的序列 $a$。定义一个 $n$ 个点的无向完全图，点 $l$ 和点 $r$ 之间的距离为 $\min\limits_{i\in[l,r]}{a_i}$。 可以进行 $k$ 次操作，每次操作可以选定一个 $i$ 并将 $a_i$ 赋值为 $10^9$ 。最大化这
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摘要：![[安乐椅#1] 卡尔松不等式](https://img2022.cnblogs.com/blog/2866421/202208/2866421-20220821003356040-2101665087.png)
内容 在 \(m \times n\) 的非负实数矩阵 \[A=\left[ \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\
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内容 在 \(m \times n\) 的非负实数矩阵 \[A=\left[ \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\
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摘要：
by Fred & Gokix & Skull 一. 背景：相切可吃理论 一位清华学生在演讲中指出，薯片掉落到地面后与地面相切，接触面无限小，因而没有沾染细菌，拾起后可放心食用： 这一听上去荒谬的理论在提出之后引发热议，受到大量批驳与质疑，这一状况引发了我们的关注。 市面上常见的薯片分为弧形、鞍形和
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by Fred & Gokix & Skull 一. 背景：相切可吃理论 一位清华学生在演讲中指出，薯片掉落到地面后与地面相切，接触面无限小，因而没有沾染细菌，拾起后可放心食用： 这一听上去荒谬的理论在提出之后引发热议，受到大量批驳与质疑，这一状况引发了我们的关注。 市面上常见的薯片分为弧形、鞍形和
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摘要：
俯视图 拟合为椭圆，作为最终双曲抛物面二元函数的定义域。没啥好说的。 e.g. $\frac{(x+0.1)^2}{1.15^2}+\frac{(y+0.2)^2}{1.38^2}=2.4$ 因为我们最终希望将二元双曲面的中心定在原点处，所以不需要 $x_0,y_0$，直接将原式化为 $\frac{
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俯视图 拟合为椭圆，作为最终双曲抛物面二元函数的定义域。没啥好说的。 e.g. $\frac{(x+0.1)^2}{1.15^2}+\frac{(y+0.2)^2}{1.38^2}=2.4$ 因为我们最终希望将二元双曲面的中心定在原点处，所以不需要 $x_0,y_0$，直接将原式化为 $\frac{
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摘要：
简要题意 给定序列 ${a_n},{b_n}$，求一个序列 ${c_n}$ 满足 $\forall i\in[1,n],c_i\in{a_i,b_i}$，求最大 $$\max{r-l+1-\operatorname{mex}{c_l,c_{l+1},\dots, c_{r-1},c_r}}(1\le
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简要题意 给定序列 ${a_n},{b_n}$，求一个序列 ${c_n}$ 满足 $\forall i\in[1,n],c_i\in{a_i,b_i}$，求最大 $$\max{r-l+1-\operatorname{mex}{c_l,c_{l+1},\dots, c_{r-1},c_r}}(1\le
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摘要：
那些令我拍手叫绝的题 CF1631F Flipping Range 这题实在是太妙了。或许作为 2F 会迷惑很多人，往前放放可能会获得更可观的 Div2 通过数。 首先考虑记 $x=\gcd(b_1,b_2,...,b_m)$。那么 $x$ 可以表示为 $\sum (q_i \times b_i),
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那些令我拍手叫绝的题 CF1631F Flipping Range 这题实在是太妙了。或许作为 2F 会迷惑很多人，往前放放可能会获得更可观的 Div2 通过数。 首先考虑记 $x=\gcd(b_1,b_2,...,b_m)$。那么 $x$ 可以表示为 $\sum (q_i \times b_i),
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摘要：
单纯形算法 单纯形算法基于松弛形式进行操作： $$ \max z= \sum\limits_{j=1}^n c_j x_j \ s.t. \begin{cases} x_{i+n}=b_i- \sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j,i=1,2,\dots,m \ x_j \ge 0
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单纯形算法 单纯形算法基于松弛形式进行操作： $$ \max z= \sum\limits_{j=1}^n c_j x_j \ s.t. \begin{cases} x_{i+n}=b_i- \sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j,i=1,2,\dots,m \ x_j \ge 0
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浙公网安备 33010602011771号