示性函数引入

Problem

现有一个1到n的排列，$ a_1,a_2,...,a_n $。记 $ X $ 为满足 $ a_i = i $ 的 $ i $ 的个数，求 $ E(X) $ 。

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准备工作

设随机变量 $ X,Y $ ， $ X \in \{ x_1,x_2,...,x_n \} $ ， $ Y \in \{ y_1,y_2,...,y_m \}$ 。

分布列 $ P(X=x_i) = p_i $ ，$ P(Y=y_i) = q_i $ ，则

\[\sum _{i=1} ^ {n} p_i =1 \hspace{0.4cm} \sum _{i=1} ^ {m} q_i =1 \\ E(X) = \sum _{i=1} ^ {n} p_i · x_i \hspace{0.4cm} E(Y) = \sum _{i=1} ^ {m} q_i · y_i \]

于是

\[ \begin{aligned} E(X+Y) &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} [ p_i · q_j ( x_i + y_j ) ] \\ &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (p_i · q_j · y_j) + \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} (q_j · p_i · x_i) \\ &= \sum_{i=1}^{n} [ p_i · E(Y) ] + \sum_{j=1}^{m} [ q_j · E(X)] \\ &= E(X) + E(Y) \end{aligned} \]

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Solution

设示性函数 $ I_A(i) $，满足：

\[I_A(i) = \begin{cases} 1 & a_i=i \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]

则

\[E( I_A(i) ) = \frac{1}{n} \\ \begin{aligned} E(X) &= E( \sum_{i=1}^{n} I_A(i) ) \\ &= \sum_{i=1}^{n} E( I_A(i) ) = 1 \end{aligned} \]