自然数倒数平方和

\[\text{ \Large{证明：}} \sum_ {i=1} ^ { \infin } { \frac{1} {i^2} }= { \frac{\pi^2} {6} } \\ \begin{aligned} \text{ \large{已知：}} \sin x = { \sum _{ i=1 } ^ { \infin } { \frac{ x ^ { 2i-1 } }{ (2i-1)! } } } \\ \cos x = { \sum _{i=1} ^ {\infin} { \frac{ x ^ {2i-2} }{ (2i-2)! } } } \\ \end{aligned} \]

\[\text{ \large{则} } { \frac{ \sin x }{ x } = { \sum _{ i=1 } ^ { \infin } { \frac{ x ^ { 2i-2 } }{ (2i-1)! } } } } = A \prod _{ i=1 }^{ \infin } ( x - i \pi )*( x + i \pi ) \\ \text{ \large{ 其中 } } A={ \prod_{ i=1 }^{ \infin } { \frac{ 1 }{ { -i^2 } { \pi^2 } } } } { \hspace{0.2cm} }(x=0) \\ \text{ \large{ 那么 } } { \frac{ \sin x }{ x } } = A { \prod _{ i=1 }^{ \infin } ( x - i \pi )*( x + i \pi ) } = { \prod _{ i=1 }^{ \infin } { ( 1 - \frac{ x^2 }{ i^2 \pi^2 } ) } } \\ \text{ \large{ 有 } } { -\frac{ x^2 }{ 6 } } = { \sum_{ i=1 } ^ { \infin } {-\frac{ x^2 }{ i^2 \pi ^2 }} } \\ \therefore \sum_ {i=1} ^ { \infin } { \frac{1} {i^2} }= { \frac{\pi^2} {6} } \]