自然数倒数平方和

写在前面

17世纪末至18世纪初，欧洲的一流数学家被一个求和问题所困扰着：

\[{\sum_{k=1}^{\infin } \frac{1}{k^2} } \]

1689年，雅各·伯努利在论文《具有有限和的无穷级数的算术命题》的结尾称:"如果有谁解决了这个迄今让我们束手无策的难题，并告知我们，我们将十分感激他."

1735年，28岁的欧拉在研究巴塞尔问题时通过将正弦函数的泰勒展开式和无穷乘积的系数对比，发现这个无穷级数结果是$ \frac{\pi^2}{6} $．

---

Solution

\[\text{ \Large{证明：}} \sum_ {i=1} ^ { \infin } { \frac{1} {i^2} }= { \frac{\pi^2} {6} } \\ \begin{aligned} \text{ \large{已知：}} \sin x = { \sum _{ i=1 } ^ { \infin } { \frac{ x ^ { 2i-1 } }{ (2i-1)! } } } \\ \cos x = { \sum _{i=1} ^ {\infin} { \frac{ x ^ {2i-2} }{ (2i-2)! } } } \\ \end{aligned} \]

\[\text{ \large{则} } { \frac{ \sin x }{ x } = { \sum _{ i=1 } ^ { \infin } { \frac{ x ^ { 2i-2 } }{ (2i-1)! } } } } = A \prod _{ i=1 }^{ \infin } ( x - i \pi )*( x + i \pi ) \\ \text{ \large{ 其中 } } A={ \prod_{ i=1 }^{ \infin } { \frac{ 1 }{ { -i^2 } { \pi^2 } } } } { \hspace{0.2cm} }(x=0) \\ \text{ \large{ 那么 } } { \frac{ \sin x }{ x } } = A { \prod _{ i=1 }^{ \infin } ( x - i \pi )*( x + i \pi ) } = { \prod _{ i=1 }^{ \infin } { ( 1 - \frac{ x^2 }{ i^2 \pi^2 } ) } } \\ \text{ \large{ 有 } } { -\frac{ x^2 }{ 6 } } = { \sum_{ i=1 } ^ { \infin } {-\frac{ x^2 }{ i^2 \pi ^2 }} } \\ \therefore \sum_ {i=1} ^ { \infin } { \frac{1} {i^2} }= { \frac{\pi^2} {6} } \]

这个证明是欧拉年轻时的重要成果之一．当然，这个证明缺乏严格收敛证明，但结果后续被证实。欧拉在此基础上对这类问题做了推广，他的想法被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的素数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质．

“巴塞尔问题”是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡．