P3224 [HNOI2012] —— 永无乡

[HNOI2012] 永无乡

题目描述

永无乡包含 \(n\) 座岛，编号从 \(1\) 到 \(n\) ，每座岛都有自己的独一无二的重要度，按照重要度可以将这 \(n\) 座岛排名，名次用 \(1\) 到 \(n\) 来表示。某些岛之间由巨大的桥连接，通过桥可以从一个岛到达另一个岛。如果从岛 \(a\) 出发经过若干座（含 \(0\) 座）桥可以 到达岛 \(b\) ，则称岛 \(a\) 和岛 \(b\) 是连通的。

现在有两种操作：

B x y 表示在岛 \(x\) 与岛 \(y\) 之间修建一座新桥。

Q x k 表示询问当前与岛 \(x\) 连通的所有岛中第 \(k\) 重要的是哪座岛，即所有与岛 \(x\) 连通的岛中重要度排名第 \(k\) 小的岛是哪座，请你输出那个岛的编号。

输入格式

第一行是用空格隔开的两个整数，分别表示岛的个数 \(n\) 以及一开始存在的桥数 \(m\)。

第二行有 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数表示编号为 \(i\) 的岛屿的排名 \(p_i\)。

接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u, v\)，表示一开始存在一座连接编号为 \(u\) 的岛屿和编号为 \(v\) 的岛屿的桥。

接下来一行有一个整数，表示操作个数 \(q\)。

接下来 \(q\) 行，每行描述一个操作。每行首先有一个字符 \(op\)，表示操作类型，然后有两个整数 \(x, y\)。

• 若 \(op\) 为 Q，则表示询问所有与岛 \(x\) 连通的岛中重要度排名第 \(y\) 小的岛是哪座，请你输出那个岛的编号。
• 若 \(op\) 为 B，则表示在岛 \(x\) 与岛 \(y\) 之间修建一座新桥。

输出格式

对于每个询问操作都要依次输出一行一个整数，表示所询问岛屿的编号。如果该岛屿不存在，则输出 \(-1\) 。

样例 #1

样例输入 #1

5 1
4 3 2 5 1
1 2
7
Q 3 2
Q 2 1
B 2 3
B 1 5
Q 2 1
Q 2 4
Q 2 3

样例输出 #1

-1
2
5
1
2

提示

数据规模与约定

• 对于 \(20\%\) 的数据，保证 \(n \leq 10^3\), \(q \leq 10^3\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq m \leq n \leq 10^5\), \(1 \leq q \leq 3 \times 10^5\)，\(p\) 为一个 \(1 \sim n\) 的排列，\(op \in \{\texttt Q, \texttt B\}\)，\(1 \leq u, v, x, y \leq n\)。

分析

并查集维护连通性，线段树合并。 $ root[i] $ 数组记录根编号为 $ fa[i] $ 的联通块的权值线段树。

每次修改合并直接合并两个联通块的信息。

注意线段树合并不能自己合并自己，会导致叶节点权值错误影响答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+100;

int n,m,q;
int g[N],f[N];
int root[N<<5],tot,rk[N];
int fin(int x){return (f[x]==x)?(x):(f[x]=fin(f[x]));}
struct segtree{int lc,rc,val,id;}s[N<<5];
void upd(int &i,int l,int r,int x)
{
    if(!i)i=++tot;
    ++s[i].val;
    if(l==r)return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid)upd(s[i].lc,l,mid,x);
    else upd(s[i].rc,mid+1,r,x);
}
void merg(int &i,int &j,int l,int r)//i<--j
{
    if(i==0 || j==0){i+=j;return ;}
    if(l==r)
    {
        s[i].val+=s[j].val;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    merg(s[i].lc,s[j].lc,l,mid);
    merg(s[i].rc,s[j].rc,mid+1,r);
    s[i].val=s[s[i].lc].val+s[s[i].rc].val;
}
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&x);
        upd(root[i],1,n,x);
        f[i]=i;
        rk[x]=i;
    }
    for(int i=1,x,y,fx,fy;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        fx=fin(x);
        fy=fin(y);
        if(fx!=fy)
        {
            merg(root[fx],root[fy],1,n);
            f[fy]=fx;
        }
    }
}
int que(int i,int l,int r,int k)
{
    if(i==0 && k>0)return -1;
    if(l==r)
        return (s[i].val==k)?(l):(-1);

    int mid=(l+r)>>1,sum=s[s[i].lc].val;
    if(sum>=k)return que(s[i].lc,l,mid,k);
    else return que(s[i].rc,mid+1,r,k-sum);
}
void work()
{
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        char t=getchar();
        int x,y;
        while(t!='Q' && t!='B')t=getchar();
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(t=='Q')
        {
            int ans=que(root[fin(x)],1,n,y);
            if(ans==-1)printf("-1\n");
            else
            printf("%d\n",rk[ans]);
        }
        else
        {
            int fx=fin(x),fy=fin(y);
            if(fx==fy)continue;
            merg(root[fx],root[fy],1,n);
            f[fy]=fx;
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}