CCPC Online M. Medium Equals X 题解

由于只关心下标集合，所以我们先对原数组从小到大排序，记为 \(\{b_n\}\)。

若子序列长度为奇数，假设 \(b_l=b_{l+1}=...=b_r=x\)，当我们选定中间数，左右两边的数的个数要相等，因此答案为

\(\sum\limits_{i=l}^{r}\sum\limits_{j=0}^{i-1}\binom{i-1}{j}\binom{n-i}{j}=\sum\limits_{i=l}^{r}\binom{n-1}{i-1}\)

若子序列长度为偶数，我们分为两种情况考虑

当中间两个数均为 \(x\) 时，假设 \(b_l=b_{l+1}=...=b_r=x\)，因此答案为

\(\sum\limits_{i=l}^{r-1}\sum\limits_{j=i+1}^{r}\sum\limits_{k=0}^{i-1}\binom{i-1}{k}\binom{n-j}{k}=\sum\limits_{i=l}^{r-1}\sum\limits_{j=i+1}^{r}\binom{i-1+n-j}{i-1}=\sum\limits_{i=l}^{r-1}(\binom{n-1}{i}-\binom{i-1+n-r}{i})\)

当中间两个数为 \(y\) 和 \(2x-y\) 时，做法同上，仅相应区间发生改变。