数学笔记：泊松求和公式

数学笔记：泊松求和公式

​ 泊松求和公式（Poisson Summation Formulation） 由法国科学家泊松发现，是调和分析中非常重要的一个公式，在诸多数学分支中有着广泛的应用。它建立了函数在时域（或实数域）上的无限求和与其连续傅里叶变换之间的对应建立对应关系，其核心思想是将函数\(f\)沿整数平移叠加，得到一个周期为\(1\)的函数；这个周期函数的傅里叶级数系数，恰好是\(f\)的傅里叶变换在整数点的值。

​ 泊松求和公式建立了离散点求和与连续傅里叶变换在等间距频率点求和之间的恒等关系，是分析采样、混叠与数值频散的核心数学工具。其解释了如下的数值现象：

• 时域、空间域离散采样\(\Leftrightarrow\) 频域、波数域周期延拓。
• 对连续函数\(f(x)\) 以间距\(\Delta{x}\) 采样，其离散序列的频谱等于原连续频谱以\(2\pi/{\Delta{x}}\) 为周期的重复叠加。
• 若原信号带限且最高频率低于\(Nyquist\) 频率，则无混叠；否则高频成分会折叠到低频，产生数值频散

1.傅里叶变换约定及泊松求和公式

​ 为了后续的推导简洁清晰避免符号混乱，本笔记采用如下的符号约定：设\(f(\xi)\) 为定义在实数轴上足够光滑且衰减足够快的函数，其傅里叶变换为：

\[\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi{i}x\xi}d{x} \tag{1.1} \]

其傅里叶逆变换：

\[f(x)=\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi)e^{2\pi{i}x\xi}d{\xi} \tag{1.2} \]

在这个约定下，泊松求和公式的常见的约定形式为：

\[\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}{f(n)}=\sum_{k\in{\mathbb{Z}}}\hat{f}(k) \tag{1.3} \]

更一般的周期化形式为：

\[\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}f(n+x^{\prime})=\sum_{k\in{\mathbb{Z}}}\hat{f}(k)e^{2\pi{i}kx} \tag{1.4} \]

令\(x=0\)，就得到第一个公式（1.3）。

​ 泊松求和公式定理成立最严格条件是\(f\)属于Schwartz 空间\(\mathcal{S}(\mathbb{R})\)，即\(f\)无限可微且各阶导数均快速衰减。此时\(\hat{f}\) 也属于\(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) ，因此：

\[\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}|f(n)|<{\infty},\space \sum_{k\in\mathbb{Z}}|\hat{f}(k)|<\infty \tag{1.5} \]

所以两边都绝对收敛。在较弱条件下也可成立，例如\(f\)连续且\(f,\hat{f}\) 都有足够快的衰减；在分布意义下还可进一步推广。

2.泊松求和公式的数学推导：周期化与傅里叶级数

​ 设\(f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\)，定义其周期化函数\(F(x)\)为：

\[F(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(x+n).\tag{2.1} \]

由于\(f\)快速衰减，这个函数绝对且一致收敛，并且\(F\)是周期为\(T=1\)的光滑函数：

\[F(x+1)=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}f(x+n+1)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(x+m)=F(x) \tag{2.2} \]

因此\(F\)可以展开成傅里叶级数：

\[F(x)=\sum_{k\in{\mathbb{Z}}}c_ke^{2\pi{i}kx}.\tag{2.3} \]

其傅里叶系数为：

\[c_k=\int_{0}^{1}F(x)e^{2\pi{i}kx}d{x} \tag{2.4} \]

代入\(F(x)=\sum_{n\in{\mathbb{z}}}f(x+n)\)，并交换求和与积分：

\[\begin{aligned} c_k&=\int_{0}^{1}\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}f(x+n)e^{-2\pi{i}kx}d{x} \\ &= \sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\int_{0}^{1}f(x+n)e^{-2\pi{i}kx}d{x} \end{aligned} \tag{2.5} \]

令\(t=x+n\)，则\(x=t-n\)，且：

\[e^{-2\pi{i}kn}=e^{-2\pi{i}k(t-n)}=e^{-2\pi{i}kt}e^{2\pi{i}kn}=e^{-2\pi{i}kt} \tag{2.6} \]

因为\(k,n\in{\mathbb{Z}}\)，所以\(e^{2\pi{ikn}}=1\)。于是建立傅里叶级数\(c_k\)可以变为

\[\begin{aligned} c_k&=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\int_{n}^{n+1}f(t)e^{-2\pi{ikt}}d{t}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi{i}kt}dt\\ &=\hat{f}(k) \end{aligned} \tag{2.7} \]

因此，周期化函数\(F\)的傅里叶级数为

\[F(x)=\sum_{k\in{\mathbb{Z}}}\hat{f}(k)e^{2\pi{ikx}} \tag{2.8} \]

代入可得：

\[\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}f(x+n)=\sum_{k\in{\mathbb{Z}}}\hat{f}(k)e^{2\pi{ikx}} \tag{2.9} \]

最后令\(x=0\)，得到

\[\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}f(n)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\hat{f}(k). \tag{2.10} \]

这就是泊松求和公式。同理，若以采样间距\(\Delta{x}\) 采样，则更一般的形式为：

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta{x})=\frac{1}{\Delta{x}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\frac{2\pi m}{\Delta{x}}\right) \tag{2.11} \]

该公式表明：函数在等间距离散点上的求和，等于其连续傅里叶变换在等间距频率点上的求和（乘以\(1/\Delta{x}\)）。泊松求和成立需要\(f(x)\) 满足一定条件：

1. 绝对可积：\(\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty\)；
2. 有界变差：\(f(x)\) 在任意有限区间内有界变差；
3. 衰减条件： \(f(x)\) 在无穷远处衰减足够快，使得周期化函数\(g(x)\) 收敛。

更一般地，公式在分布意义下对更广泛的函数成立，但上述条件对绝大多数的物理应用已足够。

3.与采样定理的关系

泊松求和公式与采样定理描述的是同一物理事实的两个侧面：离散采样导致频谱周期化。泊松求和给出精确的数学恒等式，采样定理给出无混叠可重构的充分条件。设连续信号 (f(t)) 的频谱为

\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt. \tag{3.1} \]

若 (F(\omega)) 带限，即存在截止频率 (\omega_c) 使得

\[F(\omega)=0 \quad (|\omega|>\omega_c), \tag{3.2} \]

且采样角频率

\[\omega_s=\frac{2\pi}{\Delta t} \tag{3.3} \]

满足 Nyquist 条件

\[\omega_s > 2\omega_c, \tag{3.4} \]

则 (f(t)) 可由样本 (f(n\Delta t)) 完全重构：

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n\Delta t)\, \operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-n\Delta t}{\Delta t}\right). \tag{3.5} \]

对采样信号

\[f_s(t)=f(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n\Delta t), \tag{3.6} \]

其傅里叶变换为

\[F_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}. \tag{3.7} \]

由傅里叶变换的周期延拓性质（等价于泊松求和），有

\[\boxed{ F_s(\omega) = \frac{1}{\Delta t} \sum_{m=-\infty}^{\infty} F(\omega-m\omega_s) } \tag{3.8} \]

这就是频谱的周期延拓。若 (F(\omega)) 带限于 (|\omega|<\omega_c)，且 (\omega_s>2\omega_c)，则各副本互不重叠。在基带 (|\omega|<\omega_s/2) 内，只有 (m=0) 项存在：

\[F_s(\omega)=\frac{1}{\Delta t}F(\omega),\qquad |\omega|<\frac{\omega_s}{2}. \tag{3.9} \]

因此通过低通滤波即可恢复 (F(\omega))，进而重构 (f(t))。这就是采样定理。泊松求和公式的一般形式为

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n\Delta t) = \frac{1}{\Delta t} \sum_{m=-\infty}^{\infty} F(m\omega_s), \qquad \omega_s=\frac{2\pi}{\Delta t}. \tag{3.10} \]

它正是采样信号频谱在零频处的值：

\[F_s(0)=\sum_n f(n\Delta t) = \frac{1}{\Delta t}\sum_m F(-m\omega_s) = \frac{1}{\Delta t}\sum_m F(m\omega_s). \tag{3.11} \]

因此，泊松求和公式是采样信号频谱周期延拓在 (\omega=0) 处的特例；采样定理是这一周期延拓在带限条件下无混叠的推论

当带限条件不满足时，周期延拓的各副本发生重叠，产生混叠：

\[F_s(\omega) = \frac{1}{\Delta t} \sum_{m=-\infty}^{\infty} F(\omega-m\omega_s). \tag{3.12} \]

在有限断层离散化中：

• 空间采样：子断层间距 (\Delta s)，方向性空间频率 (\phi=\omega\kappa/v_r)，空间 Nyquist 波数 (\phi_N=\pi/\Delta s)。

\[M_d(\phi)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}M\!\left(\phi+\frac{2\pi m}{\Delta s}\right). \tag{3.13} \]

• 时间采样：时间步长 (\Delta t)，Nyquist 频率 (\omega_N=\pi/\Delta t)。

\[\hat{\dot S}_d(\omega) = \frac{1}{\Delta t} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{\dot S}\!\left(\omega+\frac{2\pi n}{\Delta t}\right). \tag{3.14} \]

工程上要求上升时间 (\tau\ge 5\Delta t)。

项目	泊松求和公式	采样定理
性质	精确恒等式	充分条件
内容	离散求和 = 连续谱周期叠加	带限且过采样时可重构
混叠	给出混叠的完整表达式	给出无混叠的 Nyquist 条件
应用	数值频散误差的定量分析	确定采样率、子断层间距、时间步长

核心结论：泊松求和公式是采样定理的数学基础。采样定理是泊松求和公式在带限信号条件下的特例。在有限断层离散化数值频散分析中，采样定理提供 Nyquist 判据，泊松求和则提供混叠误差的精确表达式，二者互补使用。

参考文献

1. Poisson, S. D. (1823). Mémoire sur la théorie du magnétisme. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, 5, 247–338. （原始文献）
2. Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.). McGraw-Hill. Chapter 5: The Poisson Summation Formula. （经典教材，详细推导与物理应用）
3. Papoulis, A. (1977). Signal Analysis. McGraw-Hill. Chapter 3: Sampling and Poisson Summation. （信号处理视角）
4. Mallat, S. (2009). A Wavelet Tour of Signal Processing (3rd ed.). Academic Press. Chapter 3: Discrete Revolution. （小波与采样理论）
5. Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press. Chapter 5: The Poisson Summation Formula. （严格数学处理）
6. Aki, K., & Richards, P. G. (2002). Quantitative Seismology (2nd ed.). University Science Books. Section 11.4: Discrete wavenumber integration. （地震学中的应用）
7. Bouchon, M. (1981). A simple method to calculate Green's functions for elastic layered media. Bulletin of the Seismological Society of America, 71(4), 959–971. （离散波数积分法，泊松求和在地震模拟中的典型应用）