场论笔记（三）矢量分析基础

矢量分析是矢量代数的继续，是场论的基础知识，同时也是弹性波动力学等其他学科的有用工具。其本笔记主要内容是介绍矢性函数，矢端曲线及其微分，积分计算及其性质。

1.1矢性函数

在矢量代数中，曾经学过矢量的模长和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢(注意：零矢量的方向为任意，可作为一种特殊的常矢量)；然而，在许多科学，技术问题中，我们常常遇到模长和方向或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。

Definition 1.1 设有数性变量$t$和变矢量$\mathbf{A}$，如果对于$t$在某个范围$G$内的每一个数值，变矢量$\mathbf{A}$都以一个确定的矢量和它对应，则称$\mathbf{A}$ 为数性变量$t$的矢量函数，记作

\[\mathbf{A}=\mathbf{A}(t) \tag{1.1.1} \]

并称$\mathbf{G}$为函数$\mathbf{A}$的定义域。

矢量函数$\mathbf{A}(t)$在$Oxyz$直角坐标系的三个坐标（即它的三个坐标系的投影），显然都是$t$的函数：

\[\mathbf{A}(t)=[A_x(t),A_y(t),A_z(t)] \tag{1.1.2} \]

所以，矢性函数$\mathbf{A}(t)$的坐标表达式为：

\[\mathbf{A}=A_x(t)\mathbf{i}+A_y(t)\mathbf{j}+A_z(t)\mathbf{k} \tag{1.1.3} \]

其中$i,j,k$为沿$x,y,z$三个坐标轴正向的单位矢量。可见，一个矢性函数和三个有序的数性函数（坐标）构成一一对应的关系。

1.2矢端曲线

本笔记所讲的矢量均指自由矢量，就是当两矢量的模长和方向相同时，就认为此二矢量是相等的。据此，为了能用图形来直观地表示矢性函数$\mathbf{A}(t)$的变化状态，我们就可以把$\mathbf{A}(t)$的起点取在坐标原点。这样，当$t$ 变化时，矢量$\mathbf{A}(t)$ 的终点$\mathbf{M}$就描绘出一条曲线$l$; 这条曲线叫做矢性函数$\mathbf{A}(t)$的矢端曲线，亦叫做矢性函数$\mathbf{A}(t)$的图形。

由矢量代数知道：起点在坐标原点$\mathbf{O}$，终点为$\mathbf{M}(x,y,z)$的矢量$OM$叫做点$M$(对于$O$点)的矢径，常用$\mathbf{r}$表示：

\[\mathbf{r}=OM=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} \tag{1.2.1} \]

当我们把矢量函数$\mathbf{A}(t)$ 的起点取在坐标原点时，$\mathbf{A}(t)$实际上就成为其终点$M(x,y,z)$的矢径。因此，$\mathbf{A}(t)$的三个坐标$A_x(t),A_y(t),A_z(t)$就对应地等于其终点$M$的三个坐标$x_{M},y_{M},z_{M}$，即有

\[\begin{cases} x_{M}&=A_x(t)\\ y_{M}&=A_y(t)\\ z_{M}&=A_z(t)\\ \end{cases} \tag{1.2.2} \]

式(1.1.2)就是矢端曲线$l$的以$t$为参数的参数方程。容易看出，曲线$l$的矢量方程式(1.3)和参数方程式(1.5)之间一一对应关系，只要知道其中的一个，就可以立刻写出另一个。

1.3矢性函数的极限和连续性

和数性函数一样，矢性函数的极限和连续性，是矢性函数的微分与积分的基础概念。兹分述如下：

Definition 1.2 矢性函数极限的定义： 设矢性函数$\mathbf{A}(t)$在点$t_0$的某个领域内有定义（但在$t_0$处可以没有定义），$\mathbf{A_{0}}$为一常矢。若对于任意给定的正数$\varepsilon$, 都存在一个正数$\delta$，使得当$t$满足$0<|t-t_0|<\delta$时，就有

\[|\mathbf{A}(t)-\mathbf{A_{0}}|<\varepsilon \tag{1.3.1} \]

成立，则称$\mathbf{A}_{0}$为矢性函数$\mathbf{A}(t)$当$t\rightarrow{t_0}$时的极限，记作

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)=\mathbf{A_0} \tag{1.3.2} \]

这个定义与数性函数的极限的定义完全类似。因此，矢性函数也就有类似于数性函数中的一些极限运算法则。例如：

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}u(t)\mathbf{A}(t)=\lim_{t\rightarrow{t_0}}u(t)\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t) \tag{1.3.3} \]

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}[\mathbf{A}(t)\pm\mathbf{B}(t)]=\lim_{t\rightarrow{t_0}}{\mathbf{A}(t)}\pm\lim_{t\rightarrow{t_0}}{\mathbf{B}(t)} \tag{1.3.4} \]

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}[\mathbf{A}(t)\cdot\mathbf{B}(t)]=\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{B}(t) \tag{1.3.5} \]

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}[\mathbf{A}(t)\times\mathbf{B}(t)]=\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)\times\lim_{t\rightarrow{t_0}}{\mathbf{B}}(t) \tag{1.3.6} \]

其中，$u(t)$为数性函数，$\mathbf{A}(t)$,$\mathbf{B}(t)$ 为矢性函数；且当$t\rightarrow{t_0}$ 时，$u(t)$,$\mathbf{A}(t)$,$\mathbf{B}(t)$ 均有极限存在。

依此，根据式(1.3)有下式

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)=\lim_{t\rightarrow{t_0}}A_x(t)\mathcal{i}+\lim_{t\rightarrow{t_0}}A_y(t)\mathcal{j}+\lim_{t\rightarrow{t_0}}A_z(t)\mathcal{k} \tag{1.3.7} \]

此式把求矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。

Definition 1.3 矢性函数连续性的定义：若矢性函数$\mathbf{A}(t)$在点$t_0$的某个领域内有定义，而且有

\[\lim_{t\rightarrow{t_0}}\mathbf{A}(t)=\mathbf{A}(t_0) \tag{1.3.8} \]

则称$\mathbf{A}(t)$在$t=t_0$处连续。

容易看出:矢性函数$\mathbf{A}(t)$在点$t_0$处连续的充要条件是它的三个坐标函数$A_x(t)$, $A_y(t)$, $A_z(t)$ 都在$t_0$ 处连续。

若矢性函数$\mathbf{A}(t)$在某个区间内的每一个点处都联系，则称它在该区间内连续。

1.4 矢性函数的导数与微分

在上述小结中，我们初步定义了矢性函数$\mathbf{A}(t)$ 及其几何意义矢端曲线，在此基础上，类似数性函数，在本节中从矢性函数的导数出发，给出矢性函数的微分及其性质。

1.4.1 矢性函数的导数

设有起点在$O$点的矢性函数$\mathbf{A}(t)$，当数性变量$t$在其定义域内从$t$到$t+\Delta{t}(t\neq0)$时，对应的矢量分别为：

\[\mathbf{A}(t)=OM \tag{1.4.1} \]

\[\mathbf{A}(t+\Delta{t})=ON \tag{1.4.2} \]

由此可定义矢性函数的增量，记作$\Delta{\mathbf{A}}$，则

\[\Delta{\mathbf{A}}=\mathbf{A}(t+\Delta{t})-\mathbf{A}(t)=MN \tag{1.4.3} \]

据此，就可以给出矢性函数的导数的定义。

Definition 1.4 矢性函数的导数：设矢性函数$\mathbf{A}(t)$在点$t$的某一领域内有定义，并设$t+\Delta{t}$也在这个领域内。若$\mathbf{A}(t)$对应于$\Delta{t}$的增量$\Delta{\mathbf{A}}$ 与$\Delta{t}$的之比

\[\frac{d{\mathbf{A}}}{d{t}}=\frac{\mathbf{A}(t+\Delta{t})-\mathbf{A}(t)}{\Delta{t}} \tag{1.4.4} \]

在$\Delta{t}\rightarrow{0}$时，及其极限存在，则称此极限为矢性函数$\mathbf{A}(t)$在点$t$处的导数（简称为导矢），记作 $\frac{d{\mathbf{A}}}{d{t}}$ 或者 $\mathbf{A}^{'}(t)$，即

\[\frac{d\mathbf{A}(t)}{d{t}}=\lim_{t\rightarrow{t_0}}\frac{\Delta{\mathbf{A}}}{\Delta{t}}=\lim_{t\rightarrow{t_0}}\frac{\mathbf{A}(t+\Delta{t})-\mathbf{A}(t)}{\Delta{t}} \tag{1.4.5} \]

若$\mathbf{A}(t)$ 由坐标性质给出：

\[\mathbf{A}(t)=A_x(t)\mathbf{i}+A_y(t)\mathbf{j}+A_z(t)\mathbf{k} \tag{1.4.6} \]

且函数$A_x(t),A_y(t),A_z(t)$ 在点$t$可导，则有

\[\begin{aligned} \frac{d{\mathbf{A}}}{d{t}}&=\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta{t}}\\ &=\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{A_x}}{\Delta{t}}\mathbf{i}+\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{A_y}}{\Delta{t}}\mathbf{j}+\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{A_z}}{\Delta{t}}\mathbf{k}\\ &=\frac{d{A_x}}{d{t}}\mathbf{i}+\frac{d{A_y}}{dt}\mathbf{j}+\frac{d{A_z}}{d{z}}\mathbf{k} \end{aligned} \tag{1.4.7} \]

即

\[\mathbf{A^{\prime}}(t)=A_x^{\prime}(t)\mathbf{i}+A_y^{\prime}(t)\mathbf{j}+A_z^{\prime}\mathbf{k} \tag{1.4.8} \]

此式把求矢量函数的导数归结为求三个分量的数性函数的导数。

1.4.2 矢性函数的导数几何意义

如图，$l$为$\mathbf{A}(t)$矢端曲线，$\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta{t}}$ 是在$l$的割线$MN$上的一个矢量。当$\Delta{t}>0$时，其指向与$\Delta{A}$一致，系指向对应$t$值增大的一方；当$\Delta{t}<0$时，其指向与$\Delta{\mathbf{A}}$ 相反，但此时$\Delta{A}$指向对应$t$值函数减小的一方，从而$\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta{t}}$ 依然指向对应$t$值增大的一方。

在$\Delta{t}\rightarrow{0}$ 时，由于割线$MN$绕点$M$转动，且以点$M$处的切线为其极限位置。此时，在割线上的矢量$\Delta{\mathbf{A}}\over{\Delta{t}}$的极限位置。此时，在割线上的矢量$\Delta{\mathbf{A}}\over{\Delta{t}}$ 的极限位置，自然也就在此切线上，则也就是说，导矢

\[\mathbf{A}^{\prime}(t)=\lim_{t\rightarrow{0}}\frac{\Delta{\mathbf{A}}}{\Delta{t}} \tag{1.4.9} \]

当其不为零时，是在点$M$处的切线上，且由上述可知，其方向恒指向对应$t$值增大的方向。故导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，指向对应$t$值增大的一方。

1.4.3 矢性函数的微分

（1）微分的概念与几何意义

根据数性函数的微分的定义，设矢性函数$\mathbf{A}=\mathbf{A^{\prime}}(t)$，我们把

\[d\mathbf{A}=\mathbf{A^{\prime}}(t)dt \space (dt=\Delta{t}) \tag{1.4.10} \]

称为矢性函数$\mathbf{A}(t)$ 在$t$ 处的微分。

由于微分$d{\mathbf{A}}$ 是导矢$\mathbf{A^{\prime}}(t)$与增量$\Delta{t}$ 的乘积，所以其是一个矢量，而且和导矢$\mathbf{A}^{\prime}(t)$ 一样，也在点$M$处与$\mathbf{A}(t)$ 的矢端曲线$l$ 相切，但其指向：当$dt>0$时，与$\mathbf{A}^{\prime}(t)$ 相切方向一致；而当$dt<0$时，则与$\mathbf{A}^{\prime}(t)$ 的方向相反。微分$d{\mathbf{A}}$ 的分量表达式如下：

\[d{\mathbf{A}}=A_x^{\prime}(t)dt\mathbf{i}+A_{y}^{\prime}(t)dt\mathbf{j}+A_z^{\prime}(t)dt\mathbf{k} \tag{1.4.11} \]

或

\[d{\mathbf{A}}=d{A_x}\mathbf{i}+d{A_y}\mathbf{j}+d{A_z}\mathbf{k} \tag{1.4.12} \]

(2) $\frac{d\mathbf{r}}{ds}$ 的几何意义

如果把矢性函数$\mathbf{A}(t)=A_x(t)\mathbf{i}+A_y(t)\mathbf{j}+A_z(t)\mathbf{k}$ 看作其终点$M(x,y,z)$ 的矢径函数：

\[\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} \tag{1.4.13} \]

这里$x=A_x(t),y=A_y(t),z=A_z(t)$，则上式可以写为如下的形式：

\[|d{\mathbf{r}}|=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \tag{1.4.14} \]

通常都将矢性函数$\mathbf{A}(t)$的矢端曲线$l$视为有向曲线，在无特别声明时，都是取$t$ 值增加的一方为$l$之正向。若在$l$上取定一点$M_0$ 作为计算弧长$s$的起点，并以$l$之正向（即$t$值增大的方向）作为$s$增大的方向，则在任一点$M$处，弧长的微分是

\[ds=\pm\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \tag{1.4.15} \]

按照下述办法取右端符号：以点$M$为界，当$ds$位于$s$增大一方时取正号；反之取负号。由此可见有：

\[|d{\mathbf{r}}|=|d{s}| \tag{1.4.16} \]

就是说，矢性函数的微分向量的模长等于（其矢端曲线的）弧长微分的绝对值，从而由

\[|d{\mathbf{r}}|=\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}ds\right|=\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\right|\cdot|ds| \tag{1.4.17} \]

有

\[\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\right|=\frac{|d{\mathbf{r}}|}{|ds|}=1 \tag{1.4.18} \]

结合导矢的几何意义，便知：矢性函数对（其矢端曲线的）弧长$s$ 的导数$\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}$ 在几何上为切向单位向量，恒指向$s$增大的一方。

Equation 1.5.1 证明 $\frac{ds}{dt}=\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\right|$

证明：

\[\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}=\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\mathbf{k} \tag{1.4.19} \]

由此可知，$\mathbf{r}$ 的矢性微分的模长：

\[\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \tag{1.4.20} \]

由此可知，$ds$与$dt$ 具有相同的符号，固有

\[\begin{aligned} \frac{ds}{dt}&=\frac{\pm\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}{\pm\sqrt{dt^2}} \\ &=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\\ &=\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right| \end{aligned} \tag{1.4.21} \]

由此可知：矢端曲线的切向单位矢量，即

\[\frac{d{\mathbf{r}}}{d{s}}=\frac{\frac{d\mathbf{r}}{d{t}}}{\frac{ds}{dt}}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\bigg/\left|\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\right| \tag{1.4.19} \]

1.4.4 矢性函数的导数性质

设矢性函数$\mathbf{A}=\mathbf{A}(t),\mathbf{B}=\mathbf{B}(t)$ 及数性函数 $u=u(t)$ 在$t$ 的某个范围内可导，则下列公式在该范围内成立

$\frac{d}{dt}{\mathbf{C}}=\mathbf{0}$ ($\mathbf{C}$为常矢)；
$\frac{d}{dt}(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})=\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\pm\frac{d\mathbf{B}}{dt}$;
$\frac{d}{dt}(k\mathbf{A})=k\frac{d\mathbf{A}}{dt}$($k$为常数);
$\frac{d}{dt}(u\mathbf{A})=\frac{du}{dt}\mathbf{A}+u\frac{d{\mathbf{A}}}{dt};$
$\frac{d}{dt}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{B}}{dt}+\mathbf{B}\cdot\frac{d\mathbf{A}}{dt};$
$\frac{d}{dt}(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{A}\times\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}+\mathbf{B}\times\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}$
$\frac{d}{dt}\mathbf{A^2}=2\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}$(其中$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}$)
复合函数求导公式：若$\mathbf{A}=\mathbf{A}(u),u=u(t)$，则

\[\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}=\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}\frac{du}{dt} \tag{1.4.20} \]

这些公式的证明方法，与微积分学中数性函数的类似公式的证法：完全相同，比如公式（5）可以这样证明：

\[\begin{aligned} \Delta(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})&=(\mathbf{A}+\Delta{\mathbf{A}})\cdot(\mathbf{B}+\Delta{\mathbf{B}})-\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} \\ &=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot(\Delta\mathbf{B})+\mathbf{B}\cdot(\Delta{\mathbf{A}})+\Delta{\mathbf{A}}\cdot\Delta{\mathbf{B}}-\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\\ &=\mathbf{A}\cdot{\Delta{\mathbf{B}}}+\mathbf{B}\cdot\Delta\mathbf{A}+\Delta{\mathbf{A}}\cdot\Delta{\mathbf{B}} \end{aligned} \tag{1.4.21} \]

以$\Delta{t}$ 除以两端，有

\[\frac{\Delta{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}}{\Delta{t}}=\mathbf{A}\cdot\frac{\Delta{\mathbf{B}}}{\Delta{t}}+\mathbf{B}\cdot\frac{\Delta{\mathbf{A}}}{\Delta{t}} \tag{1.4.22} \]

再令 $\Delta{t}\rightarrow{0}$ 两端取极限，就得到：

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})&=\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}+\mathbf{B}\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}+\mathbf{0}\cdot\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}\\ &=\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{B}}}{dt}+\mathbf{B}\frac{d{\mathbf{A}}}{dt} \end{aligned}\tag{1.4.23} \]

定理矢性函数$\mathbf{A}(t)$ 的模不变的充要条件是

\[\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{A}}{dt}=0 \tag{1.4.24} \]

证明： 假定 $|\mathbf{A}|=constant$, 则有

\[\mathbf{A}^2=|\mathbf{A}|^2=constant \tag{1.4.25} \]

两端对$t$ 求导，就得到

\[\mathbf{A}\cdot\frac{d{\mathbf{A}}}{dt}=0 \tag{1.4.26} \]

反之，若有 $\mathbf{A}\cdot\frac{d\mathbf{A}}{dt}=0$, 从而

\[\frac{d}{dt}\mathbf{A}^2=0 \tag{1.4.27} \]

则有，

\[\mathbf{A}^2=|\mathbf{A}|^2=constant \tag{1.4.28} \]

所以要有

\[|\mathbf{A}|= constant \tag{1.4.29} \]

这个例子，可以简单地说成：定长矢量$\mathbf{A}(t)$ 与其导矢量互相垂直。特别，对于单位矢量$$

\[\mathbf{A}^{o}\perp \frac{d{\mathbf{A}^{o}}}{dt} \tag{1.4.30} \]

1.4.5 导矢的物理意义

设质点$M$在空间运动，其矢径$\mathbf{r}$ 与时间$t$的函数关系为

\[\mathbf{r}=\mathbf{r}(t) \tag{1.4.31} \]

这个函数的矢端曲线$l$就是质点$M$的运动轨迹。

为了说明导矢$\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}$ 的物理意义，假定质点在时刻 $t=0$时位于点$M_0$处，经过一段时间$t$ 以后到达点$M$,其间在$l$上所经过的路程为$s$。这样，点$M$的矢径$\mathbf{r}$ 显然是路程$s$ 的函数，而$s$ 又是时间$t$ 的函数，从而可以将$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 看作$\mathbf{r}$ 是通过中间变量$s$而成为时间$t$的一个复合函数，于是由复合函数的求导公式有；

\[\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}=\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt} \tag{1.4.32} \]

矢中$\frac{d{\mathbf{r}}}{ds}$的几何意义，如前段所示，是在点$M$处的一个切向单位向量，指向$s$增大的方向，因此，它表示在点$M$处质点运动的方向，现在以$\boldsymbol{\tau}$ 表示之；而式中的$$

\[\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}=v\boldsymbol{\tau} \tag{1.4.33} \]

由此可见，导矢$\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ 表示出了质点$M$运动的速度大小和方向，因而它就是质点$M$运动的速度矢量$\boldsymbol{v}$ ,即

\[\boldsymbol{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt} \tag{1.4.33} \]

若定义二阶导矢$\mathbf{w}$

\[\mathbf{w}=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d{\mathbf{r}}}{dt}\right) \tag{1.4.34} \]

则$\mathbf{w}$为质点$\mathbf{M}$运动的加速度矢量。

1.5 矢性函数的积分

矢性函数的积分和数性函数的积分类似，也有不定积分和定积分两种，现在分述于下：

1.5.1 矢性函数的不定积分

定义若在$t$的某个区间$I$上，有 $\mathbf{B^{'}}(t)=\mathbf{A}(t)$，则称$\mathbf{B}(t)$为$\mathbf{A}(t)$在区间上的一个原函数。在区间$I$上，$\mathbf{A}(t)$的原函数全体，加做$\mathbf{A}(t)$的原函数的全体，叫做$\mathbf{A}(t)$在$I$上的不定积分，记作

\[\int{\mathbf{A}(t)}dt \tag{1.5.1} \]

这个定义和数性函数的不定积分定义完全类似。故和数性函数一样，若已知$\mathbf{B}(t)$和是$\mathbf{A}(t)$ 的一个原函数，则有

\[\int{\mathbf{A}(t)}dt=\mathbf{B}(t)+\mathbf{C} \tag{1.5.2} \]

而且，数性函数不定积分的基本性质对矢性函数来说也仍然成立。例如：

\[\begin{equation} \int k\mathbf{A}(t)dt=k\int\mathbf{A}(t)dt \tag{1.5.3} \end{equation} \]

\[\begin{equation} \int [\mathbf{A}(t)+\mathbf{B}(t)]dt=\int\mathbf{A}(t)dt+\int\mathbf{B}(t)dt \tag{1.5.4} \end{equation} \]

\[\begin{equation} \int u(t)\mathbf{a}dt=\mathbf{a}\int u(t)dt \tag{1.5.5} \end{equation} \]

\[\int\mathbf{a}\cdot\mathbf{A}(t)dt=\mathbf{a}\cdot\int \mathbf{A}(t)dt \tag{1.5.6} \]

\[\int \mathbf{a}\times\mathbf{A}(t)dt=\mathbf{a}\times\int\mathbf{A}(t)dt \tag{1.5.7} \]

其中，$k$为非零常数，$\mathbf{a}$ 为非零常矢量。

据此，若已知矢性函数的分量表达式$\mathbf{A}(t)=A_x(t)\boldsymbol{i}+A_y(t)\boldsymbol{j}+A_z(t)\boldsymbol{k}$ ,根据式(1.6.3)和式(1.6.4)可知：

\[\int\mathbf{A}(t)dt=\boldsymbol{i}\int{A_x(t)}dt+\boldsymbol{j}\int{A_y(t)}dt+\boldsymbol{k}\int{A_z(t)}dt \tag{1.5.8} \]

此式把求一个矢性函数的不定积分，归纳为求一个三个数性函数的不定积分。

此外，数性函数的换元积分法与分部积分法亦适用于矢性函数。但由于两个矢量的矢量积服从于负交换律，即$\mathbf{A}\times\mathbf{B}=-(\mathbf{B}\times\mathbf{A})$, 故其分部积分公式的应用端应为两项相加：

\[\int\mathbf{A}\times\mathbf{B}^{\prime}dt=\mathbf{A}\times \mathbf{B}+\int \mathbf{B}\times\mathbf{A}^{\prime}dt \tag{1.5.9} \]

1.5.2 矢性函数的定积分

定义设矢性函数 $\mathbf{A}(t)$在区间$[T_1,T_2]$ 上连续，则 $\mathbf{A}(t)$在$[T_1,T_2]$ 上的定积分是指下面形式的极限：

\[\int_{T_1}^{T_2}\mathbf{A}(t)dt=\lim_{\lambda\rightarrow{0}}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{A}(\xi_{i})\Delta{t_i} \tag{1.5.10} \]

其中 $T_1=t_0<t_1<t_2<...<t_n=T_2$；$\xi_i$为区间$[t_{i-1},t_i]$上的一点；$\Delta{t_i}=t_i-t_{i-1}$; $\lambda=max{\Delta{t_i}}$,$i=1,2,3,...,n$。

可以看出，矢性函数的定积分概念也和数性函数的定积分完全类似。因此，也具有和数性函数的定积分相应的基本性质，例如：

\[\int_{T_1}^{T_2}\mathbf{A}(t)dt=\mathbf{B}(T_2)-\mathbf{B}(T_1) \tag{1.5.11} \]

其他性质就不一一列举了。

此外，类似于（1.6.11）式，求矢性函数的定积分也可以归纳于求三个数性函数的定积分，既有：

\[\int_{T_1}^{T_2}\mathbf{A}(t)dt=\boldsymbol{i}\int_{T_1}^{T_2}A_x(t)dt+\boldsymbol{j}\int_{T_1}^{T_2}A_y(t)dt+\boldsymbol{k}\int_{T_1}^{T_2}A_z(t)dt \tag{1.5.12} \]

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场论笔记（三）矢量分析基础

场论笔记（三）矢量分析基础

1.1矢性函数

1.2矢端曲线

1.3矢性函数的极限和连续性

1.4 矢性函数的导数与微分

1.4.1 矢性函数的导数

1.4.2 矢性函数的导数几何意义

1.4.3 矢性函数的微分

1.4.4 矢性函数的导数性质

1.4.5 导矢的物理意义

1.5 矢性函数的积分

1.5.1 矢性函数的不定积分

1.5.2 矢性函数的定积分

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